1、2020-2021学年上海市宝山区行知中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分），考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1（4分）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若，则2（4分）若，则3（4分）的内角，的对边分别为，若，则的面积为4（4分）已知，则5（4分）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则6（4分）已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当，时，计算（1）（2）（3）7（5分）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是8（5分）已知函数，则不等式的解集为9（5分）如图，将
2、矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕的长度为10（5分）在锐角中，的取值范围为 11（5分）设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为12（5分）函数仅有一个零点，则的取值范围为二、选择题（本大题共有4题，満分20分，每题5分）每题铕且只有一个正选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黒13（5分）下列函数中最小正周期为的函数是ABCD14（5分）已知非零向量，共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件15（5分）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范
3、围是ABCD16（5分）对于函数，若集合，中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是AB，C，D，三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（14分）已知，为锐角，（1）求的值；（2）求的值18（14分）如图，是半圆的直径，是弧三等分点，是线段的三等分点，若（1）求的值；（2）求与的夹角（用符号“”表示）19（14分）已知函数（1）求的单调增区间；（2）求在区间上的最小值；（3）如果在上有两个解，求的取值范围20（16分）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩
4、，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽设灯柱高，（1）当时，求四边形的面积；（2）求灯柱的高（用表示）；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值21（18分）已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数（1）已知是，上的周期为1的级类周期函数，且是，上的严格增函数，当，时，求实数的取值范围；（2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当，时，若对任意，都有，求的取值范围；（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由202
5、0-2021学年上海市宝山区行知中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分），考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1（4分）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若，则4【考点】：平面向量的基本定理【专题】：平面向量及应用【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、的坐标，结合题中向量等式建立关于、的方程组，解之得且，即可得到的值【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得，解之得且因此，故答案为：4【点评】本题给出向量用向量、线性表示，求系数、的比值，着重考查了平面向量的坐标
6、运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题2（4分）若，则【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；数学运算【分析】由已知结合倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题3（4分）的内角，的对边分别为，若，则的面积为【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题；解三角形【分析】利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可【解答】解：由余弦定理有，故答案为：【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题4（4分）已知，则
7、【考点】两角和与差的三角函数【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑推理；数学运算【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换，差角的正弦的应用求出结果【解答】解：已知，所以，由于，所以，故，整理得故答案为：【点评】本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，差角的正弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题5（4分）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则【考点】任意角的三角函数的定义【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得和 的值，再利用两角差的正弦公式，求得的值
8、【解答】解：角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转后经过点，则，则，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角差的正弦公式，属于中档题6（4分）已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当，时，计算（1）（2）（3）1【考点】抽象函数及其应用【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到是周期函数，结合函数的解析式分析可得（1）（2）（3），据此可得（1）（2），计算可得答案【解答】解：根据题意，的图象关于对称，则有，又由函数是上的奇函数，则，则，即，故函数是周期为4的周
9、期函数，则，（1），（2），（3）（1），（4），（1）（2）（3），即（1）（2）（1）；故答案为：1【点评】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的判断，属于基础题7（5分）若是函数的一条对称轴，则函数的最大值是【考点】两角和与差的三角函数；正弦函数的奇偶性和对称性【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】根据条件化简，然后由已知求出得到值，则函数的最值可求【解答】解：（其中，又是函数的一条对称轴，即，由，得函数的最大值是故答案为：【点评】本题考查三角函数值的恒等变换应用，正弦型函数的图象和性质，是中档题8（5分）已知函数，则不等式的解集为，或【考点
10、】指、对数不等式的解法；其他不等式的解法【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数据分析【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，求得不等式的解集【解答】解：函数为偶函数，当时，函数单调递增，（1），则不等式的解集为，故当时，不等式的解集为，综上，可得不等式的解集为，或，故答案为：，或【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题9（5分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕的长度为【考点】三角形中的几何计算【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算【分析】根据图形判断直角三角形，利用直角三角形求解，由，求解即可【解答】解：由已知
11、及对称性知，又，又由得：故答案为：【点评】本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）在锐角中，的取值范围为【考点】：三角形中的几何计算【专题】35：转化思想；58：解三角形【分析】由条件可得，且 ，故，由正弦定理可得，从而得到 的取值范围【解答】解：在锐角中，且 ，故， 故 由正弦定理可得：，即故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用正弦定理的应用11（5分）设为内部的一点，且，则的面积与的面积之比为【考点】向量数乘和线性运算；数量积表示两个向量的夹角【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学
12、运算【分析】延长至，使；延长至，使，可得是的重心，利用三角形重心的性质，即可得到结论【解答】解：延长至，使；延长至，使则，是的重心，延长，交于，延长，交于，延长，交于，则，故答案为：【点评】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法法则，体现了向量在解决有关平面图形问题题中的优越性，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题12（5分）函数仅有一个零点，则的取值范围为【考点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算；计算题【分析】函数的零点转化为方程即的根，先对参数的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的
13、取值范围，得出答案【解答】解：由题意，当时，函数定义域是，当时，函数定义域是，函数仅有一个零点，只有一个根，当时，即在仅有一个解，在仅有一个解，令，又当时，舍，或4，时无意义，舍去，当时，函数定义域是，函数是一个递减过与的线段，函数在递增且过两点与，此时两曲线段恒有一个交点，故符合题意，的取值范围为：故答案为：【点评】本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题，是中档题二、选择题（本大题共有4题，満分20分，每题5分）每题铕且只有一个正选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黒13（5分）下列函数中最小正周期为的函数是ABCD【考点
14、】：三角函数的周期性【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质；65：数学运算【分析】找出选项中的函数解析式中的值，代入周期公式，可求出选项中函数的最小正周期【解答】解：、函数的最小正周期，不满足条件；、函数的最小正周期为，不满足条件；、的最小正周期为，不满足条件；、的周期，满足条件故选：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性，属于基础题14（5分）已知非零向量，共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】常规题型；定义法；简易逻辑；逻辑推理【分
15、析】利用数量积为数，以及数量积的运算法则，结合充分必要条件的定义，从而求出答案【解答】解：若，又，若，都是数，设，又，共线，即综上所述：是的充要条件故选：【点评】本题考查了向量共线定理、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是ABCD【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】由题意，方程在区间上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围【解答】解：函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即在区间上至少有
16、2个不同的根，至多有3个不同的根，当，则，求得；当，方程在区间上有1个根，不满足题意；当，求得；当，则，方程在区间上有3个不同的根，满足条件，此时，当，方程在区间上有5个不同的根，不满足题意；当时，方程在区间上至少有5个不同的根，不满足题意综上，可得，故选：【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题16（5分）对于函数，若集合，中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”若函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是AB，C，D，【考点】分段函数的应用【专题】计算题；对应思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据新定义，分类讨论，即可求出的取值范围【解答】解：函数是“2阶准偶函数”，则
17、集合，中恰有2个元素，当时，则，即，解得或，此时函数是“2阶准偶函数”，当，如图所示，由于，当无解，由于，即，解得或，此时函数是“2阶准偶函数”，则，即，当时，如图所示由于，当无解，而有无数个解，故函数不是“2阶准偶函数”，综上所述的取值范围为，故选：【点评】本题属于信息给予题，准确理解“阶准偶函数”概念是解题关键，属于中档题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（14分）已知，为锐角，（1）求的值；（2）求的值【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【专题】函数思想；转化法；三角函数的求值；计算题【分析】（1）由已知结合平方关系求得，的值，再
18、由倍角公式得的值；（2）由（1）求得，再由求得，利用，展开两角差的正切求解【解答】解：（1）由，解得，；（2）由（1）得，则，则【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题18（14分）如图，是半圆的直径，是弧三等分点，是线段的三等分点，若（1）求的值；（2）求与的夹角（用符号“”表示）【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算【分析】（1）用坐标法求向量数量积即可；（2）用向量数量积求两向量夹角问题即可【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，所以，所以的值为26；（2）由
19、（1）知，所以，于是【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，考查了用向量数量积表示向量的夹角问题，属于中档题19（14分）已知函数（1）求的单调增区间；（2）求在区间上的最小值；（3）如果在上有两个解，求的取值范围【考点】三角函数的最值【专题】转化思想；整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最小值；（3）利用函数的图象的特点求出参数的取值范围【解答】解：（1）函数令，整理得，故函数的单调递增区间为：（2）由于，
20、所以，所以，故函数在时，函数的最小值为（3）由于函数在时与函数有两个交点，故【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数的取值范围的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题20（16分）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽设灯柱高，（1）当时，求四边形的面积；（2）求灯柱的高（用表示）；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值【考点】根据实际问题选择函数类型；解三角形【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的
21、性质及应用；数学运算【分析】（1）由题意可求出，所以为正三角形，则，在中由正弦定理可求出，从而求出四边形的面积（2）根据条件可得，在中由正弦定理可得，再在中由正弦定理即可表达出（3）在中由正弦定理求出，从而求出关于的函数表达式，再根据的取值范围求出的最小值【解答】解：（1），又，又，所以为正三角形，则，在中，因为，所以，故四边形的面积（2）因为，所以，又因为灯柱与地面垂直，即，所以，因为，所以，在中，因为，所以，在中，因为，所以（3）在中，因为，所以，则，因为，所以，所以当时，【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了解三角形，同时考查了学生的计算能力，是中档题21（18分）已知函数，如果对
22、于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的周期为的级类周期函数（1）已知是，上的周期为1的级类周期函数，且是，上的严格增函数，当，时，求实数的取值范围；（2）设函数是上的周期为1的2级类周期图数，且当，时，若对任意，都有，求的取值范围；（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由【考点】函数的周期性【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学建模【分析】本题是新定义的题型，读懂题目是关键（1）借助题干中的新定义以及增函数性质解题；（2）借助题干中的新定义以及二次函数性质求解；（3）借助题干中的新定义
23、以及三角函数性质求解【解答】解：（1）是，上的周期为1的级类周期函数，当，时，当，时，当，时，即当，时，是，上的严格增函数，且，（2）由题意知，时，时，时，故存在，解得或，若对任意，都有，则，（3）假设存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，则对一切实数恒成立，当时，当时，若对一切实数恒成立，则，当时，且，当时，综上所述，当时，；当时，【点评】作为新定义的题型在高考中是必考题型，读懂题目，理解新定义的主旨是关键考点卡片1充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为pq，称p为q的充分条件，q是p的必要条件事实上，与“pq”等价的逆否命题是“qp”
24、它的意义是：若q不成立，则p一定不成立这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件例如：p：x2；q：x0显然xp，则xq等价于xq，则xp一定成立2、充要条件：如果既有“pq”，又有“qp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“pq”p与q互为充要条件【解题方法点拨】 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可判断充要条件的方法是：若pq为
25、真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系【命题方向】 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广2抽象函数及其应用【知识点的认识】 抽象函数是指没有给出函数的具体解
26、析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一【解题方法点拨】尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）f（x）+f（y），它的原型就是ykx；可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）f（x）+f（y），求证f（1）f（1）0 令xy1，则f（1）2f（1）f（1）0 令xy1，同理可推出f（1）0 既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用 抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视3函数的周期性【知
27、识点的认识】 函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）f（x+T） 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数【解题方法点拨】 周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，例：求f（x）的最小正周期 解：由题意可知，f（x+2）f（x2）T4与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数 思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函
28、数图象判断交点个数；第三，注意端点的值【命题方向】 周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主4函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么函数yf（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）O，这个c也就是f（x）0的根特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，
29、b）上没有零点，例如，函数f（x）x23x+2有f（0）f（3）0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点（3）若f（x）在a，b上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）f（b）0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点特别提醒：“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x22x+10在0，2上有两个等根，而函数f（x）x22x+1在0，2上只有一个零点；函数的零点是实数而不是数轴上的点（2）代数法：求方程f（x）0的实数根5函数的零
30、点与方程根的关系【函数的零点与方程根的关系】 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的但是，他们的解法其实质是一样的【解法】 求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）例题：求函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点解：f（x）x4+5x327x2101x70（x5）（x+7）（x+2）（x+1）函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点是：5、7、2、1 通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数
31、的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可【考查趋势】 考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可6分段函数的应用【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数【具体应用】 正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法 例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销
32、售量为11.8万件第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0p100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件（）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？（）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？ 解：（）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8p）万件，年销售收入为（11.8p）万元，政府对该商品征收的税收y（11.8p）p%（万元）故所求函数为y（11.8p）p由11.8p0及p0得定义域为
33、0p11.8（4分）（II）由y16得（11.8p）p16化简得p212p+200，即（p2）（p10）0，解得2p10故当税率在0.02，0.1内时，税收不少于16万元 （9分）（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）（11.8p）（2p10）在2，10是减函数g（p）maxg（2）800（万元）故当税率为2%时，厂家销售金额最大 这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关我们重点看看分段函数要注意的地方第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内
34、部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论【考查预测】 修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答7根据实际问题选择函数类型【知识点的知识】1实际问题的函数刻画 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容2用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本
35、反映了事物规律，这种方法称为数据拟合（2）常用到的五种函数模型：直线模型：一次函数模型ykx+b（k0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型ykx（k0）反比例函数模型：y（k0）型，增长特点是y随x的增大而减小指数函数模型：yabx+c（b0，且b1，a0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b1，a0），常形象地称为指数爆炸对数函数模型，即ymlogax+n（a0，a1，m0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a1，m0）幂函数模型，即yaxn+b（a0）型，其中最常见的是二次函数模型：y
36、ax2+bx+c（a0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a0）在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等3函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模（2）过程：如下图所示【典型例题分析】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数
37、据：1.0036006，1n71.945，1n1022.302）（）Ay0.025x By1.003xCyl+log7x Dyx2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x10，1000时，函数为增函数；函数的最大值不超过5；yx25%，然后一一验证即可解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x10，1000时，函数为增函数；函数的最大值不超过5；yx25%x，A中，函数y0.025x，易知满足，但当x200时，y5不满足公司要求；B中，函数y1.003x，易知满足，但当x600时，y5不满足公司要求；C中，函数yl+log7x，易知满足，当x1000时，y取最大值l+log710
38、004lg75，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；D中，函数yx2，易知满足，当x400时，y5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半
39、”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大解答：解：（1）由题意：3x，且当t0时，x1所以k2，所以3x，（1分）生产成本为 32x+3，每件售价，（2分）所以，y（3分）16x，（t50）；（2分）（2）因为 当且仅当，即t7时取等号
40、，（4分）所以y50842，（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题确定函数关系式yf（x）中的参数，求出具体的函数解析式yf（x）；讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案（2）解函数关系未知的应用题阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类
41、型；抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解8其他不等式的解法【知识点的知识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解特例：一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）解的讨论（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6
42、）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x为正数）：9指、对数不等式的解法【概述】 指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解【例题解析】例1：已知函数f（x）ex1（e是自然对数的底数）证明：对任意的实数x，不等式f（x）x恒成立 解：（I）设h（x）f（x）xex1xh（x）ex11，当x1时，h（x）0，h（x）为增，当x1时，h（x）0，h（x）为减，当x1时，h（x）取最小值h（1）0h（x）h（1）0，即f（x）x 这里面是一
43、个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力例2：已知函数f（x）loga（x1），g（x）loga（3x）（a0且a1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）g（x）中x的取值范围 解：不等式f（x）g（x），即 loga（x1）loga（3x），当a1时，有，解得 2x3当1a0时，有，解得 1x2综上可得，当a1时，不等式f（x）g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1a0时，不等式f（x）g（x）中x的取值范围为（1，2） 这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数
44、函数来求解也可以【考点点评】 本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习10向量数乘和线性运算【知识点的知识】（1）实数与向量的积是一个向量，记作，它的大小为|，其方向与的正负有关若|0，当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反当0时，与平行对于非零向量a、b，当0时，有 （2）向量数乘运算的法则1；（1）；（）（）（）；（+）+；（+）+一般地，+叫做，的一个线性组合（其中，、均为系数）如果+，则称可以用，线性表示11平面向量的基本定理【知识点的知识】1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共
45、线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数1、2，使2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一12平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为，则：（1）|cos；（2）0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，|；当，方向相反时，|；特别地：|2或|（用于计算向量的模）（4）cos（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）|2、平面向量数量积的运算
46、律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（）（）（）；（3）分配律：（）（）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为（）222+2（）（+）22（）（），从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“”“（m+n）tmt+nt”类比得到“（）”；“t0，mtntmn”类比得到“”；“|mn|m|n|”类比得到“|”；“（mn）tm（nt）”类比得到“（）”；“”类比得到以上的式子中，类比得到的结论正确的是解：向量的数量积满足交换律，“mnnm”类比得到“”，即正确；向量的数
47、量积满足分配律，“（m+n）tmt+nt”类比得到“（）”，即正确；向量的数量积不满足消元律，“t0，mtntmn”不能类比得到“”，即错误；|，“|mn|m|n|”不能类比得到“|”；即错误；向量的数量积不满足结合律，“（mn）tm（nt）”不能类比得到“（）”，即错误；向量的数量积不满足消元律，”不能类比得到，即错误故答案为：向量的数量积满足交换律，由“mnnm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）tmt+nt”类比得到“（）”；向量的数量积不满足消元律，故“t0，mtntmn”不能类比得到“”；|，故“|mn|m|n|”不能类比得到“|”；向量的数量积不满足结合律，故“（
48、mn）tm（nt）”不能类比得到“（）”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握13数量积表示两个向量的夹角【知识点的知识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角，并且还有这样的公式：cos通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了【典型例题分析】例：复数z+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60解：cos60+isin60复数z+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60
49、故答案为：60点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，1）的夹角【考点点评】 这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握14任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin y，cos x，tan 2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）【命题方向】已知角的终边经过点（4，3），则cos（）ABCD【分析】由条件直接利
50、用任意角的三角函数的定义求得cos的值解：角的终边经过点（4，3），x4，y3，r5cos，故选：D【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）15三角函数的恒等变换及化简求值【概述】 三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数
51、，主要的方法就是运用它们的周期性【公式】正弦函数有ysin（2k+x）sinx，sin（+x）sin（x）cosx余弦函数有ycos（2k+x）cosx，cos（x）sinx正切函数有ytan（k+x）tanx，tan（x）cotx，余切函数有ycot（x）tanx，cot（k+x）cotx【例题解析】例：sin60cos（45）sin（420）cos（570）的值等于解：，原式 先利用诱导公式把sin（420）和cos（570）转化成sin60和cos30，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换【考点点评】 本考点是三角函数的基础
52、知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的16同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2+cos21（2）商数关系：tan2诱导公式公式一：sin（+2k）sin ，cos（+2k）cos_，其中kZ公式二：sin（+）sin_，cos（+）cos_，tan（+）tan 公式三：sin（）sin_，cos（）cos_公式四：sin（）sin ，cos（）cos_公式五：sin（）cos，cos（）sin公式六：sin（+）cos，cos（+）sin3两角和
53、与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（）：cos （）coscos+sinsin；（2）C（+）：cos（+）coscossinsin；（3）S（+）：sin（+）sincos+cossin；（4）S（）：sin（）sincoscossin；（5）T（+）：tan（+）（6）T（）：tan（）4二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2：sin 22sin_cos_；（2）C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；（3）T2：tan 2【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀： 对于角“”（kZ）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦
54、变正弦；当k为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号”17两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（）：cos （）coscos+sinsin；（2）C（+）：cos（+）coscossinsin；（3）S（+）：sin（+）sincos+cossin；（4）S（）：sin（）sincoscossin；（5）T（+）：tan（+）（6）T（）：tan（）18二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：sin22sincos；其可拓展为1+sin2（sin+cos）2二倍角的
55、余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：cos2cos2sin22cos2112sin2二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：tan2对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可【例题解析】例：ysin2x+2sinxcosx的周期是 解：ysin2x+2sinxcosx+sin2xsin2xcos2x+sin（2x+）+，（tan）其周期T故答案为： 这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记
56、各种公式【考点点评】 本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式19三角函数的周期性【知识点的认识】周期性一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期函数yAsin（x+），xR及函数yAcos（x+）；xR（其中A、为常数，且A0，0）的周期T 【解题方法点拨】1一点提醒求函数yAsin（x+）的单调区间时，应注意
57、的符号，只有当0时，才能把x+看作一个整体，代入ysin t的相应单调区间求解，否则将出现错误2两类点ysin x，x0，2，ycos x，x0，2的五点是：零点和极值点（最值点）3求周期的三种方法利用周期函数的定义f（x+T）f（x）利用公式：yAsin（x+）和yAcos（x+）的最小正周期为，ytan（x+）的最小正周期为利用图象图象重复的x的长度20正弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRkZ值域1，11，1R单调性递增区间：（2k，2k+）（kZ）；递减区间：（2k+，2k+）（kZ）递增区间：（2k
58、，2k）（kZ）；递减区间：（2k，2k+）（kZ）递增区间：（k，k+）（kZ）最值x2k+（kZ）时，ymax1；x2k（kZ）时，ymin1x2k（kZ）时，ymax1；x2k+（kZ） 时，ymin1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（k，0）（kZ）对称轴：xk+，kZ对称中心：（k+，0）（kZ）对称轴：xk，kZ对称中心：（，0）（kZ）无对称轴周期2221正弦函数的奇偶性和对称性【正弦函数的对称性】 正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（x）sinx另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为xk+，kz【例题解析】例：函数ysin
59、2x+2sin2x的对称轴方程为x解：由于函数ysin2x+2sin2xsin2x+1cos2x，而函数ysint的对称轴为则，解得（kZ）则函数ysin2x+2sin2x的对称轴方程为故答案为 这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可【考点点评】 这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了22三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：已知两角和任一边，求其他两边和一角已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求
60、出其他的边和角）（2）利用余弦定理可以求解：解三角形；判断三角形的形状；实现边角之间的转化包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式Saha（ha表示边a上的高）；SabsinCacsinBbcsinASr（a+b+c）（r为内切圆半径）（2）面积问题的解法：公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：配方法：转化
61、为二次函数，利用二次函数的特征来求值；逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：当角度在090间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0sin1；余弦值随着角度的增大而减小，且0cos1；正切值随着角度的增大而增大，tan0当角度在90180间变化时，正弦值随着角度
62、的增大而减小，且0sin1；余弦值随着角度的增大而减小，且1cos0；正切值随着角度的增大而增大，tan023解三角形【知识点的知识】1已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C求C，由正弦定理求a、b2已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C，求另一角3已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况4已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C，求角C5方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向
63、线所成的角（一般指锐角），通常表达成正北或正南，北偏东度，北偏西度，南偏东度，南偏西度6俯角和仰角的概念： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角7关于三角形面积问题SABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；SABCabsinCbcsinAacsinB；SABC2R2sinAsinBsinC（R为外接圆半径）SABC；SABC，（s（a+b+c）；SABCrs，（ r为ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C+，2A+2B22C余弦定理a
64、2b2+c22bccosAb2a2+c22accosBc2a2+b22abcosCcosAcosBcosC正弦定理2RR为ABC的外接圆半径a2RsinA，b2RsinB，c2RsinCsinA，sinB，sinC射影定理acosB+bcosAcacosC+ccosAbbcosC+ccosBa 面积公式SahabhbchcSabsinCacsinBbcsinASS，（s（a+b+c）；S（a+b+c）r（r为ABC内切圆半径）sinAsinBsinC24三角函数的最值【三角函数的最值】 三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象
65、在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数【例题解析】例1：sin2xsinxcosx+2cos2x+cos（2x+） 解：sin2xsinxcosx+2cos2x+2+（cos2xsin2x）+cos（2x+）故答案为：+cos（2x+） 这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换例2：函数ysin2xsinx+3的最大值是 解：令sinxt，可得yt2t+3，其中t1，1
66、二次函数yt2t+3的图象开口向上，对称轴是t当t时函数有最小值，而函数的最大值为t1时或t1时函数值中的较大的那个t1时，y（1）2（1）+35，当t1时，y121+33函数的最大值为t1时y的值即sinx1时，函数的最大值为5 这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域【考点点评】 求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/7/28 7:32:10；用户：18173447192；邮箱：18173447192；学号：22161184
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有