1、直角坐标系平面直角坐标系：平面内两条相互垂直，原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴称为x轴或横轴， 习惯上取右卫正方向；竖直的数轴称为y轴，或纵轴，取向上为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。注意：同一数轴上的单位长度是一样的，但两轴上的单位长度不一定相同。坐标：有了直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序的实数对来表示了，这样的有序实数对叫点的坐标。（平面内的点与实数对是一一对应的）象限：建立直角坐标系以后，平面就被坐标轴分为四个部分。如图， 分别叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。注意：坐标轴上的点不属于任何象限。横轴（轴）上的点（，）的坐标满足：；纵轴（轴
2、）上的点（，）的坐标满足：；第一象限内的点（，）的坐标满足：；第二象限内的点（，）的坐标满足：；第三象限内的点（，）的坐标满足：；第四象限内的点（，）的坐标满足：；点的坐标：已知点分别向轴和轴作垂线，设垂足分别是、，这两点在轴、轴的坐标分别是、，则点的坐标为（，）.点的坐标是一对有序数，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来.特殊直线：与横轴平行的直线：点表示法（，），为任意实数，的常数（即直线）； 与纵轴平行的直线：点表示法（，），为任意实数，的常数（即直线）；一、三象限角平分线：点表示法（，），为任意实数，且；二、四象限角平分线：点表示法（，），为任意实数，且；距离：点
3、到线的距离点（，）到直线（为常数）的距离为，当时，就是点到横轴（轴）的距离为；点（，）到直线（为常数）的距离为，当时，就是点到纵轴（轴）的距离为；这个知识点在已知三点的坐标求三角形面积时会用到.点到点的距离点（，）到原点（，）的距离为，点（，）到点（，）的距离为.（在此不会出现开不尽方的根号，目的在于让学生初步体会一下）对称： 点（，）关于横轴（轴）的对称点为（，）；点（，）关于纵轴（轴）的对称点为（，）；点（，）关于原点（，）的对称点为（，）；点（，）关于点（，）的对称点为（，）；平移：点平移：将点（，）向右（或向左）平移个单位可得对应点（，）或（，）.将点（，）向上（或下）平移个单位，可得
4、对应点（，）或（，）.图形平移：把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位.如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位.【例 1】 如图，边长是的正方形如图放置，写出四个顶点的坐标 ； 点（，），若在轴上，则该点坐标为 ；若在轴上，则该点坐标为 ； 如图，在直角坐标系中，有一个边长为的正方形，顶点的坐标为（，），顶点的坐标为（，），则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ；【例 2】 已知点（，）在第一象限，则的范围为 ； 已知点（，）在第二象限，则点（，）在第 象限；对任意实数，点（，）一定
5、不在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【例 3】 （1）点（，）到横轴的距离为 ，到纵轴的距离为 ，到原点的距离为 ；（2）点到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为 ；（3）点（，）与直线的距离为 ；【例 4】 如图，点的坐标 ，点关于轴的对称点为 ，点关于轴的对称点为 ， 点关于（，）的对称点为 . 已知点（，），（，），线段的长度为 ，、两点的中点为 ，点关于点的对称点为 ，点关于点的对称点为 ； 点（，）关于原点的对称点在第三象限，则的范围为 ； 如图，在方格图中，点的坐标为（，），点的坐标为（，），则点的坐标为 ； 点关于原点的对称点为 ；已知四边形是平行四边形，则点的坐标
6、为 ；已知点（，）关于轴的对称点在第一象限，求的取值范围；（4.1） （4.4）【例 5】 如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线实验与探究：由图观察易知（，）关于直线的对称点的坐标为（，），请在图中分别标明（，），（，）关于直线的对称点、的位置，并写出他们的坐标: 归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点（，）关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为 （不必证明）；点（，）在直线的下方，则，的大小关系为 ；若在直线的上方，则 ；【例 6】 点（，）向上平移个单位，再向右平移个单位得到点，点的坐标为 ；点（，）向下平移个单位，再向左平移个单位得到
7、点（，），则坐标为 ； 平面直角坐标系中有一个边长为的正方形，四个顶点的坐标为(,)，(,)，（，）、（，），正方形以顶点为中心旋转，此时顶点的坐标为 ； 如图，边长为的正方形以右下角的顶点为中心旋转，此时点的坐标为 ；依次以同样的方法旋转次，则顶点的坐标为 ；在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），现在轴向下平移个单位，轴向左平移个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下，点的坐标为 ；【例 7】 在直角坐标系中，已知点（，），（，），点是轴上动点，求的最小值.在直角坐标系中，已知点（，），（，），点是轴上动点，且使 取得最小值，求点的坐标及最小值.在直角坐标系中，已知点（，），（，
8、），点是轴上动点，点是轴上动点，求的取得最小值.【例 8】 求以点（，），（，），（，）为顶点的三角形的面积； 已知以点（，），（，），（，）为顶点的三角形的面积为，求点的坐标； 求以点（，），（，），（，）为顶点的三角形的面积；求以点（，），（，），（，）为顶点的三角形的面积；习题1. 写出写列各点的坐标： 如图，（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）；点到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为 ；习题2. 点（，）在轴上，该点坐标 ；该点到轴，轴的距离分别为 ， ；习题3. 点（，）在第一象限，求的范围；习题4. 点向左平移个单位，再向下平移个单位到点（，），则点的坐标为 ；习题5. 求以点（，）、（，）、（，）为顶点的三角形的面积；第 4 页