1、7向量应用举例71点到直线的距离公式课时目标1了解直线的方向向量、法向量2能利用直线的法向量推导点到直线的距离公式3能利用直线的法向量判断两直线的位置关系1直线的法向量(1)直线l：axbyc0 (a2b20)的一个方向向量是_，它的一个法向量是_(2)直线l：ykxb的一个方向向量是_，它的一个法向量是_所以，一条直线的法向量有_个，它们都是_向量2点到直线的距离公式设点M(x0，y0)为平面内任一点，则点M到直线l：axbyc0 (a2b20)的距离d_3两平行线间距离直线l1：axbyc10与直线l2：axbyc20 (a2b20且c1c2)的距离d_4两直线的位置关系设直线l1：a1x
2、b1yc10，直线l2：a2xb2yc20的法向量依次为n1，n2则：(1)l1l2_；(2)l1与l2重合或平行_一、选择题1点(1，1)到直线xy10的距离是()A B C D2已知三点A(2，3)，B(19,4)，C(1，6)，则ABC是()A以A为直角顶点的直角三角形B以B为直角顶点的直角三角形C以C为直角顶点的直角三角形D锐角三角形或钝角三角形3已知直线l1：(m2)x3my10与直线l2：(m2)x(m2)y30相互垂直，则实数m的值是()A2 BC2或 D或24已知直线l1：ax2y60与l2：x(a1)ya210平行，则实数a的值是()A2 B1 C2或1 D5已知直线l1：3
3、x4y120，l2：7xy280，则直线l1与l2的夹角是()A30 B45 C135 D1506已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则两平行线间的距离是()A B C D二、填空题7过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线yxm平行，则|AB|的值为_ 8过点A(2,1)且平行于向量a(3,1)的直线方程为_9过点A(2,3)且垂直于向量a(2,1)的直线方程是_10两条平行线l1：3x4y20与l2：6x8y30之间的距离为_三、解答题11已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点(1)求直线DE、
4、EF、FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程12已知M(x0，y0)为直线l：AxByC0 (AB0)外一点(1)求过点M与直线l垂直的直线l1；(2)求过点M与直线l平行的直线l2能力提升13已知向量c(0,1)，i(1,0)，经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A(0,1)，以i2c为方向向量的直线交于点P，其中R，求点P的轨迹方程14如图所示，在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的平分线上，且|2，求向量的坐标1若直线方程为axbyc0(a2b20)，则(a，b)就是它的一个法向量，(b，a)是它的一个方向向量；若直线方程为ykxb
5、，则(1，k)就是它的一个方向向量，(k，1)是它的一个法向量2点M(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d利用该公式求点到直线的距离必须先将方程化为一般式利用点到直线的距离公式可以推导出两条平行线axbyc10与axbyc20间的距离为3直线的法向量或方向向量在求两直线夹角、计算点到直线的距离或判断两条直线的位置关系中都有着重要应用，应熟练掌握7向量应用举例71点到直线的距离公式答案知识梳理1(1)(b，a)(a，b)(2)(1，k)(k，1)无数多共线234(1)n1n20a1a2b1b20(2)n1n2a1b2a2b10作业设计1D2A3C(m2)(m2)3m(m2)(m2)(4m2
6、)0，m2或4B直线l1的法向量n1(a,2)，直线l2的法向量n2(1，a1)，l1l2，n1n2，a(a1)120，解得：a1或a2当a1时，l1：x2y60，l2：x2y0，l1l2当a2时，l1：xy30，l2：xy30l1与l2重合，a2舍综上所述，a15B设l1、l2的方向向量为v1，v2，则v1(4，3)，v2(1，7)，|cosv1，v2|l1与l2的夹角为456D(m2,4m)，(2,1)0，m8，直线AB方程为：2xy120d78x3y50解析设P(x，y)是所求直线上的任一点，(x2，y1)a(x2)13(y1)0即所求直线方程为x3y5092xy70解析设直线上任一点P
7、(x，y)，则(x2，y3)由a2(x2)(y3)0，得2xy7010解析取直线l2的一个法向量为n(6,8)，分别在直线l1和l2上任取一点M(0，)和P(，0)则(，)，设与n的夹角为点M到直线l2的距离d|cos |又两条平行线间的距离处处相等，点M到直线l2的距离即为两平行线l1与l2间的距离，两平行线l1：3x4y20与l2：6x8y30之间的距离为11解(1)由已知得点D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)设点M(x，y)是直线DE上任意一点，则，(x1，y1)，(2，2)，(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，
8、xy0(2)设点N(x，y)是CH所在的直线上任意一点，则，0又(x6，y2)，(4,4)，4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH所在的直线方程12解(1)设P(x，y)为直线l1上任一点由(B，A)0，得(xx0，yy0)(B，A)0，B(xx0)A(yy0)0，即(2)设P(x，y)为直线l2上任一点，由(A，B)0(xx0，yy0)(A，B)0A(xx0)B(yy0)0 13解设P点坐标为(x，y)，i(1,0)，c(0,1)，ci(，1)，i2c(1，2)，直线OP与AP的方程分别为yx和y12x，消去参数，所求的轨迹方程为2x2y2y014解如图所示，已知A(0,1)，B(3,4)，过B作BDy轴，与OC的延长线交于点D，过D作OB的平行线交y轴于E，所以四边形OBDE为菱形，所以D(3,9)，E(0,5)设C(x1，y1)，|3，所以，所以(x1，y1)(3,9)，所以所以所以C，所以