1、A.基础达标1下列说法正确的是()A如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等B方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C向量模的大小与方向有关D向量的模可以比较大小解析：选D.两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，则下列向量相等的是()A.与B.与C.与D.与解析：选D.因为，所以四边形ABCD为平行四边形所以，.3在四边形ABCD中，若，且|，则四边形ABCD为()A菱形B矩形C
2、正方形 D不确定解析：选B.若，则ABDC，且ABDC，所以四边形ABCD为平行四边形又|，即ACBD，所以四边形ABCD为矩形4下列有关平面法向量的说法中，不正确的是()A平面的法向量垂直于与平面平行的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a，b与平面平行，则ab解析：选D.依据平面向量的概念可知A，B，C都是正确的由立体几何知识可得a，b不一定平行5.在正四面体A-BCD中，如图，等于()A45B60C90 D120解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，再求夹角得，120，故选D.6在正四面体A-
3、BCD中，O为平面BCD的中心，连接AO，则是平面BCD的一个_向量解析：由于A-BCD是正四面体，易知AO平面BCD，所以是平面BCD的一个法向量答案：法7.如图在平行六面体AG中，与；与；与；与，四对向量中不是共线向量的序号为_解析：因为，所以与共线，其他三对均不共线答案：8.如图，棱长都相等的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知A1AB60，则，_；，_；，_解析：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，且方向相同，所以，0；因为ABCD，CDC1D1，所以ABC1D1，所以，但方向相反，所以，180；因为，所以，180A1AB120.答案：01801209.如图所示是棱长为1的正
4、三棱柱ABC-A1B1C1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量的相反向量；(3)若E是BB1的中点，写出与向量平行的向量解：(1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量.(2)向量的相反向量为，.(3)取AA1的中点F，连接B1F(图略)，则，都是与平行的向量10如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，BAC90，O是BC的中点，证明：是平面ABC的一个法向量证明：由题意知，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，故设SASBSCa，因为O是BC的中点，SB
5、SC，所以SOBC.因为BAC90，ABACa，AOBC，所以AOa.又SOa，SAa，所以ASO是等腰直角三角形，即SOOA.又OABCO，所以SO平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量B.能力提升1空间两向量a，b互为相反向量，已知向量|b|3，则下列结论正确的是()AabB|a|b|Ca与b方向相同D|a|3解析：选D.a与b互为相反向量，即a与b方向相反且|a|b|.2在直三棱柱ABCABC中，已知AB5，AC3，BC4，CC4，则以三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为()A2 B4C8 D10解析：选C.向量，及它们的相反向量的模都等于5，共有8个3.如图，三
6、棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC90，PAAC，则在向量，中，夹角为90的共有_对解析：因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC，PABC，平面PAB平面ABC.又平面PAB平面ABCAB，BCAB，所以BC平面PAB，所以BCPB.由此知，都为90.答案：54下列命题中，真命题有_个若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；向量a，b相等的充要条件是|a|b|是向量ab的必要不充分条件解析：对于，|a|b|，ab可知，a和b有可能为相反向量答案：25.如图，AB是圆O的直径，直线PA所在的向量是圆O所在平面的一个法向量，M是圆周上异于A，B的任意一点，ANPM，点N是垂足，求证：直线AN的方向向量是平面PMB的法向量证明：因为AB是圆O的直径，所以AMBM.又PA平面ABM，所以PABM.因为PAAMA，所以BM平面PAM.又AN平面PAM，所以BMAN.又ANPM，且BMPMM，所以AN平面PBM.所以直线AN的方向向量是平面PMB的法向量6(选做题)如图所示，正四面体ABCD中，E是AC的中点，求与的夹角的余弦值解：过E作EFCD交AD于F，连接BF.BEF为向量与的夹角的补角设正四面体的棱长为1，则BE，EF，BF.由余弦定理得cosBEF.所以与所成的角的余弦值为.第 4 页