1、6.2 椭圆、双曲线、抛物线-2-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2013 全国,理 4)(2013 全国,理 11)(2014 全国,理 4)(2014 全国,理 10)(2014 全国,理 20)(2015 全国,理 5)(2015 全国,理 14)(2015 全国,理 11)选择题填空题解答题 从近五年的高考试题来看,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是高考考查的重点,也是高考命题的基本元素.考查的角度有:对圆锥曲线的定义的理解及定义的应用,求圆锥曲线的标准方程,求圆锥曲线的离心率以及向量、直线、圆锥曲线的小综合.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是依据圆锥曲线的几何性质求离心率
2、;根据圆锥曲线的定义求标准方程;-3-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2016 全国,理 5)(2016 全国,理 20)(2016 全国,理 11)(2016 全国,理 11)(2016 全国,理 20)(2017 全国,理 10)(2017 全国,理 15)(2017 全国,理 20)(2017 全国,理 9)(2017 全国,理 16)(2017 全国,理 10)圆锥曲线与向量的小综合;两种圆锥曲线间的小综合;直线与圆锥曲线的小综合;圆锥曲线的综合应用等.29+25=1例1设P是椭圆上一点,M,N分别是两圆:(x+2)2+y2=1和(x-2)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的
3、最小值、最大值分别为()A.4,8 B.2,6 C.6,8 D.8,12-4-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 圆锥曲线的定义的应用【思考】什么问题可考虑应用圆锥曲线的定义?求圆锥曲线标准方程的基本思路是什么?A.23+22=1 B.23+y2=1C.212+28=1 D.212+24=1 答案 解析 解析 关闭如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=6.连接 PA,PB,分别与两圆相交于 M,N 两点,此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB|-2=4.延长 PA,PB,分别与两圆相交于 M,N两点,此时|PM|
4、+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2=8,即最小值和最大值分别为 4,8.答案 解析 关闭A-5-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思1.涉及椭圆(或双曲线)两焦点间的距离或焦点弦的问题以及到抛物线焦点(或准线)的距离问题,可优先考虑圆锥曲线的定义.2.求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线,焦点在哪个坐标轴上,然后利用条件求a,b,p的值.A.|-1|-1B.|2-1|2-1C.|+1|+1D.|2+1|2+1-6-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 答案 解析 解析 关闭设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,得|
5、AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则=|=21=|-1|-1,故选 A.答案 解析 关闭A 对点训练1如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()-7-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 求圆锥曲线的离心率【思考】求圆锥曲线离心率的基本思路是什么?例2(2017全国,理9)若双曲线C:22 22=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为()A.2B.3C.2D.2 33 答案 解析 解析 关闭可知双曲线 C 的渐近线方程
6、为 bxay=0,取其中的一条渐近线方程为 bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为2 2+2=22-12=3,即2=3,所以 c=2a,所以 e=2,故选 A.答案 解析 关闭A-8-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思解决椭圆和双曲线的离心率的求值或范围问题,其关键就是先确立一个关于a,b,c(a,b,c均为正数)的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.-9-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 2(2017 全国,理 10)已知
7、椭圆 C:22+22=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0 相切,则 C 的离心率为()A.63B.33C.23D.13 答案 解析 解析 关闭以线段 A1A2 为直径的圆的方程是 x2+y2=a2.因为直线 bx-ay+2ab=0 与圆 x2+y2=a2 相切,所以圆心到该直线的距离 d=2 2+2=a,整理,得 a2=3b2,即 a2=3(a2-c2),所以22=23,从而 e=63.故选 A.答案 解析 关闭A-10-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 求轨迹方程【思考】求轨迹方程的基本策略是什么?例 3(20
8、17 天津,理 19)设椭圆22+22=1(ab0)的左焦点为 F,右顶点为 A,离心率为12,已知 A 是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,F 到抛物线的准线 l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设 l 上两点 P,Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B(B异于点 A),直线 BQ 与 x 轴相交于点 D.若APD 的面积为 62,求直线AP 的方程.-11-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解:(1)设 F 的坐标为(-c,0).依题意,=12,2=a,a-c=12,解得 a=1,c=12,p=2,于是 b2=a2-c2=34.所以,椭圆
9、的方程为 x2+423=1,抛物线的方程为 y2=4x.(2)设直线 AP 的方程为 x=my+1(m0),与直线 l 的方程 x=-1联立,可得点 P-1,-2,故 Q-1,2.将 x=my+1 与 x2+423=1 联立,消去 x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得 y=0 或 y=-632+4.由点 B 异于点 A,可得点 B-32+432+4,-632+4.-12-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 由 Q-1,2,可得直线 BQ 的方程为-632+4-2(x+1)-32+432+4+1 -2=0,令 y=0,解得 x=2-3232+2,故 D 2-3232+2,0
10、.所以|AD|=1-2-3232+2=6232+2.又因为APD 的面积为 62,故12 6232+2 2|=62,整理得 3m2-2 6|m|+2=0,解得|m|=63,所以 m=63.所以,直线 AP 的方程为 3x+6y-3=0 或 3x-6y-3=0.-13-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思1.求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.2.讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.-14-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练3如图,抛
11、物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过点M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.(1)求p的值;(2)当点M在C2上运动时,求线段AB的中点N的轨迹方程(当A,B重合于点O时,中点为O).12 2-15-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解：(1)因为抛物线 C1:x2=4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y=2,且切线 MA 的斜率为-12,所以 A 点坐标为-1,14,所以切线 MA的方程为 y=-12(x+1)+14.因为点 M(1-2,y0)在切线 MA 及抛物线
12、 C2 上,于是 y0=-12(2-2)+14=-3-2 24,y0=-(1-2)22=-3-2 22.由得 p=2.-16-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(2)设 N(x,y),A 1,124 ,B 2,224 ,x1x2,由 N 为线段 AB 中点,知 x=1+22,y=12+228.切线 MA 的方程为 y=12(x-x1)+124,切线 MB 的方程为 y=22(x-x2)+224.由得 MA,MB 的交点 M(x0,y0)的坐标为 x0=1+22,y0=124.因为点 M(x0,y0)在 C2 上,即02=-4y0,所以 x1x2=-12+226.由得 x2=43y,
13、x0.当 x1=x2 时,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x2=43y.因此线段 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2=43y.-17-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 圆锥曲线与圆相结合的问题【思考】圆锥曲线与圆相结合的题目经常用到圆的哪些性质?例4(2017全国,理20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.-18-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(1)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),
14、l:x=my+2.由 =+2,2=2可得 y2-2my-4=0,则 y1y2=-4.又 x1=122,x2=222,故 x1x2=(12)24=4.因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为11 22=-44=-1,所以 OAOB.故坐标原点 O 在圆 M 上.(2)解:由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心 M 的坐标为(m2+2,m),圆 M 的半径 r=(2+2)2+2.由于圆 M 过点 P(4,-2),因此 =0,-19-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即 x1x2-4
15、(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4.所以 2m2-m-1=0,解得 m=1 或 m=-12.当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),圆 M的半径为 10,圆 M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当 m=-12时,直线 l 的方程为 2x+y-4=0,圆心 M 的坐标为 94,-12,圆 M 的半径为 854,圆 M 的方程为-94 2+12 2=8516.-20-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何
16、知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.-21-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练4如图,设椭圆+y2=1(a1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.22-22-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解：(1)设直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段为 AP,由 =+1,22+2=1得(1+a2k2)x2+2a2kx=0.故 x1=0,x2=-221+22.
17、因此|AP|=1+2|x1-x2|=22|1+22 1+2.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|AP|=22|1|1+121+212,|AQ|=22|2|1+221+222,-23-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 所以(12 22)1+12+22+a2(2-a2)1222=0.由于 k1k2,k1,k20,得 1+12+22+a2(2-a2)1222=0,因此 112+1 122+1=1+a2(a2-2),因为式关于 k1,k2
18、 的方程有解的充要条件是 1+a2(a2-2)1,所以 a 2.因此,任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a 2,由 e=2-1得,所求离心率的取值范围为 00,b0)的左焦点为F,离心率为 2,若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.24 24=1B.28 28=1C.24 28=1D.28 24=1 答案 解析 解析 关闭设双曲线半焦距为 c(c0),则双曲线22 22=1(a0,b0)的左焦点 F的坐标为(-c,0),渐近线方程为 y=x.点 P 的坐标为(0,4),直线 PF 的斜率为 k=4.由题意
19、得4=.双曲线的离心率为 2,=2.在双曲线中,a2+b2=c2,联立解得 a=b=2 2,c=4.所求双曲线的方程为28 28=1.故选 B.答案 解析 关闭B-28-规律总结 拓展演练 答案 解析 解析 关闭由题意知 a=1,b=,m0,c=2+2=1+,则离心率e=1+=3,解得 m=2.答案 解析 关闭2 3.(2017 北京,理 9)若双曲线 x2-2=1 的离心率为 3,则实数m=.-29-规律总结 拓展演练 4.设F1,F2分别是椭圆C:(ab0)的左、右焦点,M是C上一点,且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求椭圆C的离心率;(2)若直
20、线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.22+22=134解：(1)根据 c=2-2及题设知 M,2 ,由 kMN=34,得 2b2=3ac.将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得=12,=-2(舍去).故椭圆 C 的离心率为12.-30-规律总结 拓展演练(2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2y 轴,则直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,所以 2=4,即 b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|,设 N(x1,y1),由题意知 y10,则 2(-1)=,-21=2,即 1=-32,1=-1,代入 C 的方程,得9 242+1 2=1.将及 c=2-2代入得9(2-4)42+14=1.解得 a=7(a=0 舍去),b2=4a=28,故 a=7,b=2 7.