1、鼓楼区 2020-2021 学年度第一学期期中高一数学一、单项选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.已知集合1,2,3,4,2,4,6AB，则图中阴影部分表示的集合为（）A.2,4B.2,6C.2,4,6D.1,2,3,42.命题“2,10 xx R”的否定为（）A.2,10 xx RB.不存在2,10 xx RC.2,10 xx RD.2,10 xx R3.若集合|290Axxx，|5Bx x，则 AB （）A.2,5B.2,9C.,9D.2,4.下面各组函数中表示同一个函数的是（）A.2,f xx g xxB.2,f xx g xx
2、C.21,11xf xg xxxD.10,10 xxf xg xxx 5.已知lg2,lg3mn，用,m n 表示lg15 （）A.1mnB.1mnC.1mnD.1mn6.平流层是指地球表面以上10km 50km 的区域，则在下述不等式中，最适合表示平流层高度的是（）A.1050 x B.1050 x C.1020 x D.3020 x 7.已知函数 2f xaxbxc，不等式 0f x 的解集为|31x xx 或，则fx的图象可以是（）xyO1231231212xyO1231231212xyO1231231212xyO1231231212A.B.C.D.8.已知定义在 R 上的函数 f x
3、是奇函数，且 f x 在,0上是减函数，30f，则不等式 120 xf x的解集是（）A.,52,B.,21,C.,51,D.5,21,BA二、多项选择题：（本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分）9.下列四个命题中，是真命题的是（）A.若 xy，则22xyB.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C.若 ABA，则 BAD.221,11xxx R10.下列各图中，可能是函数图象的是（）xOyOxyOxyOyxA.B.C.D.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠
4、基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设 xR，用 x 表示不超过 x 的最大整数，则 yx称为高斯函数例如2.13 ，3.13，已知函数 21xf xx，若函数 yf x 的值域集合为Q，则下列集合是Q 的子集的是（）A.0,B.0,2C.1,2D.1,2,312.已知函数 f x 满足：x R，31f xfx，且12,2,x x，12120f xf xxx12xx，则（）A.03ffB.x R，2f xfC.2514faaf D.若 3f mf，则13m三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13.函数24
5、yx的定义域是14.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数知道十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的呼你关系，即logbaaNbN已知4log 8a，2log 4b，则4a；ab15.设函数 2,0,0 xxxf xxx ，则2ff 16.当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”对于集合1 11,12 2A ，2|10,0Bx axa，若 A 与 B 构成“全食”，或构成“偏食”，则 a
6、的取值集合为三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上17.（本小题满分 10 分）计算0.512722log29的值；已知lg2,103nm，计算32210mn的值18.（本小题满分 12 分）已知 2243f xxaxa，其中 a 为实数 当2a 时，判断命题:px R，0f x 的真假，并说明理由；若1,2x，0f x，求 a 的取值范围19.（本小题满分 12 分）中华人民共和国第十四届运动会将于 2021 年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于 2019 年 8 月2 日晚在西安市对外发布某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获
7、利润全部用于社区体育设施建设据市场调查，当每套纪念品（一个会徽和一个吉祥物）售价定为 x 元时，销售量可达到150.1x万套为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 50 元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为 10约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格 每套会徽及吉祥物售价为 100 元时，能获得的总利润是多少万元？每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？20.（本小题满分 12 分）已知 43f xxa 时，当实数 a 为何值时，f x 是偶函数？已知 g x 是偶
8、函数，且 g x 在0,是增函数，如果当1,2x时 6g xag x恒成立，求实数 a 的取值范围21.（本小题满分 12 分）已知函数 2f xxax，其中 a 为实数 当2a 时，画出函数 f x 的图像，并直接写出递增区间；若 f x 在1,3x时的取值范围为 0,3f，求 a 的取值范围xyO1212311222.（本小题满分 12 分）已知Ra，1f xax 若关于 x 的方程 21f xa x 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围；若1,12t，函数 f x 在区间,1t t 上最大值不超过最小值的 2 倍，求 a 的取值范围1.【答案】A；【解析】图中阴影部分表示的集合为2
9、,4AB，故选 A2.【答案】D；【解析】命题“2,10 xx R”的否定为2,10 xx R，故选 D3.【答案】C；【解析】2,9A，所以,9AB ，故选 C4.【答案】B；【解析】ACD 三个选项中函数的定义域不同，B 中为同一个函数，故选 B5.【答案】B；【解析】lg15lg3lg5lg31 lg21mn，故选 B6.【答案】D；【解析】A 选项解集为60,40，B 选项解集为40,60，C 选项解集为30,10，均不符合；D 选项解集为10,50，故选 D7.【答案】B；【解析】fx与 f x 的图象关于 y 轴轴对称，f x 开口向下且与 x 轴交点横坐标为 3,1，所以fx开口
10、向下且与 x 轴交点横坐标为3,1故选 B8.【答案】A；【解析】根据单调性、奇偶性画出函数草图，可知,30,3x 时 0f x，3,03,x 时 0f x，0,3x 时 0f x；120 xf x等价于120 xf x或120 xf x或1x ，即 123,03,xx 或 12,30,3xx 或1x ，解得 x 的范围是,52,9.【答案】CD；【解析】A 选项，0,1xy 时不成立，为假命题；B 选项，两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，为假命题；C 选项，若 ABA，则 BA，为真命题；D 选项，设2222111121 111xxxx ，当且仅当21 1x ，即0 x
11、 时取等，为真命题；故选 CD10.【答案】ACD；【解析】B 选项，0 x 时有两个 y 值与之对应，不为函数，B 错误；故选 ACD11.【答案】BCD；【解析】0 x 时，211112111xf xxxxxx ，值域为0,，因为 f x 为偶函数，所以 f x 值域为0,，所以Q N，故选 BCD12.【答案】BC；【解析】由x R，31f xfx，3122xx，可得 f x 图象关于2x 对称，由12,2,x x，12120f xf xxx可得 f x 在2,单调递减，结合单调性、对称性画出草图，可知距2x 越近函数值越大，则显然 A 不正确，B 正确，C 选项，2235121244a
12、aaa，C 正确；D 选项，3f mf时，m 距2x 更远，则3m 或1m ，D 错误；故选 BC13.【答案】2,2；【解析】函数24yx的定义域是不等式 40 x的解集2,2，故答案为2,214.【答案】8；72；【解析】因为4log 8a，所以 48a，3,22ab，所以72ab15.【答案】2；【解析】222fff 16.【答案】0,1,4；【解析】B 时0a，符合条件；B 即0a 时，11,Baa，此时应构成“全食”11a 或 12；所以1a 或 4；综上，a 的取值集合为0,1,4 17.【答案】23；2 23【解析】原式12122552log 21933；102m，原式11322
13、21082 29310mn18.【答案】真命题；2,13【解析】2a 时，2812f xxx，则 20f，则命题:px R，0f x 为真命题；二次函数 f x 关于2xa对称，在,2a上是减函数，2,a 上是增函数，则 322a时，f x 的最大值为 1f，322a时，f x 的最大值为 2f，则1,2x，0f x，只需 10f且 20f，即23410aa 且23840aa，解得 113a 且 223a，即 213a，a 的取值范围是 2,1319.【答案】总利润为 240 万元；每套会徽及吉祥物售价为 140 元时，单套利润最大，最大值 80 元【解析】每套会徽及吉祥物售价为 100 元时
14、，销售量为150.1 1005（万套），供货单价为1050525（元），总利润为510052240（万元）答：总利润为 240 万元；销售量为150.1x，供货单价为1050150.1x，单套利润为101005050150.1150 xxxx，因为150.10 x，所以0150 x所以单套利润为10010010050150100100215080150150150yxxxxxx 当且仅当15010 x，即140 x 时取等所以每套会徽及吉祥物售价为 140 元时，单套的利润最大，最大值是 80 元20.【答案】0a；2a，5b ；62a【解析】当0a 时，43f xx是偶函数，当0a 时，aa
15、 ，而 420f afaa，此时 f x 不可能是偶函数，所以当0a；由 g x 是偶函数知 g xag xa，66g xg x，且,60 xax，由 g x 在0,是增函数，及 6g xag x知当1,2x时，6xax恒成立，即当1,2x时，6xax恒成立，即当1,2x时，66xxax恒成立，即当1,2x时，662ax 恒成立，所以 62a 21.【答案】图像见解析，递增区间为0,1 和2,；166 2a ；【解析】当2a 时 222,022,02xx xxf xxxx 或；解方程 0f x，得0 x 或 xa，结合条件知1,3a，当1a 时，符合题意，当3a 时，不符合题意，当12a时，2
16、2,1,3xaxxaf xxax ax，f x 在1,a 上单调递减，,3a上单调递增，只需 31ff，解得52a，所以12a，当 23a时，22,1,3xaxxaf xxax ax，f x 在 1,2a单调递增，在,2a a上单调递减，,3a上单调递增，显然 10ff a，所以只需 32aff，解得 66 266 2a ，所以 266 2a ，综上所述，166 2a 22.【答案】2,3a；23a【解析】方程 21f xa x，即方程121aa xx ，其中0 x，整理得到22110a xa x，显然0 x 不是方程的根，所以方程22110a xa x 在 R 上只有一解，当 20a即2a
17、时，符合题意；当 20a即2a 时，214 20aa，解得3a，所以2,3a；xyO12123112 函数 f x 在0,上单调递减，而1,12t，,10,t t ，所以函数 f x 在,1t t 上单调递减，所以在,1t t 上，f x 的最大值为 1f tat，最小值为111f tat，由题意得，1,12t，1121aatt恒成立，即1,12t，1201g tatt恒成立，下面来说明 g t 的单调性，121,12t t，且 12tt，则 121122121211g tg taatttt1212112211tttt21211 212211 2121 212211111ttttt tttttt tttt ttt，因为12112tt，所以1 212110t ttt，210tt，1 212121110t ttttt ，所以 120g tg t，即 g t 在 1,12上单调递减，所以只需 g t 的最大值即142023ga，解得23a