1、高中二年级期中考试数 学 试 题 A 卷（理科）第卷（共60分）一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分)1已知复数z=1i，则 =（）A2B2C2iD2i2已知=（-2，-3,1），=（2，0,4），=（-4，-6,2），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D.以上都不对 3盒中装有6个大小不同的小球，其中2个红色的，4个黄色的，从中任取3个，则至少有一个是红色的概率是（ ）A16B1CD4已知二次函数y=ax2+bx+c，且a，b，c0，2，4，6，8，则不同的二次函数有（）A125个B100个C60个D48个5f（x）=3xcos2x在（，+） 上（ ）A是增函数B是减
2、函数C有最大值D有最小值6若a=02x2dx，b=02x3dx，c=02sinxdx，则a、b、c的大小关系是（）AacbBabcCcbaDcab7设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN=240，则展开式中x3的系数为（）A150B150C500D5008已知函数f（x）=x2（xa）在区间内是减函数，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，若m2=1+3+5+11，n3的分解中最小
3、的正整数是21，则m+n=（）A10B11C12D13102012年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A18种B36种C48种D72种11给出下面四个类比结论实数a，b，若ab=0，则a=0或b=0；类比向量，若=0，则=或=；实数a，b，有（a+b）2=a2+2ab+b2；类比向量，有（+）2=2+2+2；向量，有|2=2；类比复数z，有|z|2=z2；实数a，b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z1，z2有z12+z22
4、=0，z1=z2=0其中类比结论正确的命题个数为（ ）A0B1C2D312设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x0时，有f（x）xf（x）恒成立，则不等式xf（x）0的解集为（ ）A. B.C. D.第卷（共90分）二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）13若（2k23k2）+（k22k）i是纯虚数，则实数k的值等于_14的展开式中项的系数是15，则_15函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是_ 16已知则_.三、解答题：（本题共6个小题，17-21每小题12分，22题14分，共74分）17已知z=1+i，a，b为实数（1）若=z2+34，求|；（2）若，
5、求a，b的值18如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，ABC=60（1）证明：ABA1C；（2）求二面角AA1CB的余弦值19现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位问：（1）所有可能的坐法有多少种？(2)此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？(3)所有空位不相邻的坐法有多少种？ 20.已知四边形是菱形，AB=2，四边形是矩形 ，平面平面，、O、N分别是、BD、EF的中点.(1)求证 ：ON平面；ON(2)若平面与平面所成的角为，求直线与平面所成的角的正弦值.21已知递增等差数列an满足：a1=1，且a1，a2，a4成等比数列（1）求数列an的通项
6、公式an；（2）若不等式（1）（1）（1）对任意nN+，试猜想出实数m的最小值，并证明22已知函数f（x）=x1alnx（aR）（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3xy3=0，求实数a的值；（2）求证：f（x）0恒成立的充要条件是a=1；（3）若a0，且对任意x1，x2（0，1，都有|f（x1）f（x2）|4|，求实数a的取值范围高中二年级期中考试 数 学 答 案 A 卷（理科） 2013年5月一、选择题：ACDBA DBCBD BD二、填空题： 1 20 -31 三、解答题17.解：（1）因为=z2+34（1+i）2+3（1i）4=1i，|=；6分（2）由条件，得，即，（a+b
7、）+（a+2）i=1+i，解得12分18.解：（1）证明：三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，ABAA1，在ABC中，AB=1，AC=，ABC=60，由正弦定理得ACB=30，BAC=90，即ABAC，AB平面ACC1A1，又A1C平面ACC1A1，ABA1C4分（2）如图，作ADA1C交A1C于D点，连接BD，由三垂线定理知BDA1C，ADB为二面角AA1CB的平面角在RtAA1C中，AD=，在RtBAD中，tanADB=，cosADB=，即二面角AA1CB的余弦值为12分19.解：(1)4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位，所有可能的坐法种数是从六个元素中取四个元素的排列数
8、，所有可能的坐法有 =360种4分(2)4人中甲，乙两人相邻，用捆绑法得到4人中甲，乙两人相邻的坐法有 =120种8分(3)所有空位不相邻用插空法，先把4人排成一排，有种排法，再往4个人构成的个空中插入两个空座位，有种插入方法，由乘法原理，得所有空位不相邻的坐法有 =240种12分20. 解:（1）四边形是矩形， 平面平面，平面-4分又O、N分别是BD、EF的中点，平面.（2）建系 设,则 -6分设平面的法向量为,所以平面的法向量 -9分,所以 -10分所以,设直线与平面所成的角为 -12分 21.解：（1）设数列an公差为d（d0），由题意可知a1a4=，即1（1+3d）=（1+d）2，解得
9、d=1或d=0（舍去）所以，an=1+（n1）1=n-4分（2）不等式等价于，当n=1时，m；当n=2时，m；而，所以猜想，m的最小值为-6分下面证不等式对任意nN*恒成立下面用数学归纳法证明证明：1当n=1时，=，成立2假设当n=k时，不等式，成立，当n=k+1时，只要证，只要证， 只要证2k+2，只要证4k2+8k+34k2+8k+4， 只要证34，显然成立所以，对任意nN*，不等式恒成立-12分22.解：（1）f（x）=1，f（1）=1a曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率为1a曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3xy3=0，1a=3，解得a=2-2分（2）充分性当a=1时，f（
10、x）=x1lnx，f（x）=1=当x1时，f（x）0，所以函数f（x）在（1，+）上是增函数，当0x1时，f（x）0，所以函数f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）f（1）=0-5分必要性f（x）=1=，其中x0（i）当a0时，f（x）0恒成立，所以函数f（x）在（0，+）上是增函数而f（1）=0，所以当x（0，1）时，f（x）0，与f（x）0恒成立相矛盾a0不满足题意（ii）当a0时，xa时，f（x）0，所以函数f（x）在（a，+）上是增函数；0xa时，f（x）0，所以函数f（x）在（0，a）上是减函数；f（x）f（a）=aaalnaf（1）=0，所以当a1时，f（a）f（1）=0，此时与
11、f（x）0恒成立相矛盾a=1综上所述，f（x）0恒成立的充要条件是a=1；-8分（3）由（2）可知，当a0时，函数f（x）在（0，1上是增函数，又函数y=在（0，1上是减函数不妨设0x1x21则|f（x1）f（x2）|=f（x2）f（x1），|f（x1）f（x2）|4|即f（x2）+4f（x1）+4设h（x）=f（x）+=x1alnx+，则|f（x1）f（x2）|4|等价于函数h（x）在区间（0，1上是减函数因为h（x）=1=，所以x2ax40在（0，1上恒成立，即ax在（0，1上恒成立，即a不小于y=x在（0，1内的最大值而函数y=x在（0，1是增函数，所以y=x的最大值为3所以a3，又a0，所以a3，0）-14分- 8 -
