1、2.2 函数与方程及函数的应用-2-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2013 全国,理10)(2014 全国,理11)(2014 全国,理15)(2016 全国,理21)(2017 全国,理21)(2017 全国,理6)(2017 全国,理11)选择题填空题解答题 高考对函数与方程及函数的应用的考查,主要侧重于函数的零点,常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体;考查确定函数零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围;函数的实际应用常以实际生活为背景,与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.1.关于函数的零点问题,要学会分析转化,能够把与之有关的不同形式的问题,化
2、归为适当方程的零点问题.2.函数模型的实际应用问题,主要抓好常见函数模型的训练,重点在于信息整理与建模.-3-命题热点一 命题热点二 命题热点三 函数零点的求解与判定【思考】确定函数零点的常用方法有哪些?例1若函数其中m 0,答案 解析 解析 关闭首先作出函数 f(x)的图象,由 f(-f(x)=1 结合图象知存在 a,b 使-f(x)=a-1,或 f(x)=-b(-1,0).由 f(x)=-a-10 知,函数 y=f(x)与直线 y=-a0 存在两个交点,此时方程 f(-f(x)=1 的实数根有 2 个;由 f(x)=-b(-1,0),知函数 y=f(x)与直线y=-b(-1,0)存在两个交
3、点,此时方程 f(-f(x)=1 的实数根有 2 个.综上可知方程的实数根个数为 4.答案 解析 关闭C-4-命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,方程易求解时用此法;(2)函数零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识;(3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.-5-命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练1函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4 答案 解析 解析 关闭函数 f(x)=2x|log0.5
4、x|-1 的零点即 2x|log0.5x|-1=0 的解,即|log0.5x|=12 的解,作出函数 g(x)=|log0.5x|和函数 h(x)=12 的图象.由图象可知,两函数图象共有两个交点,故函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 有 2个零点.答案 解析 关闭B-6-命题热点一 命题热点二 命题热点三 函数零点的应用【思考】如何由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围?例2(2017全国,理21)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.-7-命题热点一 命题热点二 命题热点三 解:(1)f(x)的定义
5、域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).()若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-ln a.当x(-,-ln a)时,f(x)0,所以f(x)在区间(-,-ln a)单调递减,在区间(-ln a,+)单调递增.(2)()若a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点.()若a0,由(1)知,当x=-ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-+ln a.当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;当a(1,+)时,由于1-+ln a0,即f(-ln a)0,故f(x)没有零点;1 1-8-命题热点一 命题热
6、点二 命题热点三 当 a(0,1)时,1-1+ln a0,即 f(-ln a)-2e-2+20,故 f(x)在区间(-,-ln a)有一个零点.设正整数 n0 满足 n0ln 3-1,则f(n0)=e0(ae0+a-2)-n0e0-n020-n00.由于 ln 3-1-ln a,因此 f(x)在区间(-ln a,+)有一个零点.综上,a 的取值范围为(0,1).-9-命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.对于存在函数的零点求参数取值范围的问题,可通过分离参数,
7、转化为求函数的最值问题.-10-命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练2(2017全国,理11)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1 答案 解析 解析 关闭f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=f(x),即 x=1 为 f(x)图象的对称轴.f(x)有唯一零点,f(x)的零点只能为 1,即 f(1)=12-21+a(e
8、1-1+e-1+1)=0,解得 a=12.答案 解析 关闭C-11-命题热点一 命题热点二 命题热点三 函数的实际应用【思考】应用函数模型解决实际问题的一般程序是怎样的?例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r m,高为h m,体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.-12-命题热点一 命题热点二 命题热点三 解：
9、(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh(元),底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2)元.又根据题意200rh+160r2=12 000,所以 h=15(300-4r2),所以 V(r)=r2h=5(300r-4r3).因为 r0,又 h0,可得 r0,所以 V(r)在(0,5)上为增函数;当 r(5,5 3)时,V(r)0,所以 V(r)在(5,5 3)上为减函数.由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8.即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大.题后反思应用函数模型解决实际问题:首先,要正确理解题意,将实际问题化为数学问
10、题;其次,利用数学知识如函数、导数、不等式(方程)解决数学问题;最后,回归到实际问题的解决上.其一般程序为 读题文字语言 建模数学语言 求解数学应用 反馈检验作答.-14-命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练3某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192 h,在22 的保鲜时间是48 h,则该食品在33 的保鲜时间是 h.答案 解析 解析 关闭由题意,得 192=e,48=e22+,得 e22k=48192,即(ek)22=14,所以(ek)11=12.当 x=33 时,
11、y=e33k+b=(ek)33eb=(e11k)3eb=12 3192=24(h).所以该食品在 33 的保鲜时间是 24 h.答案 解析 关闭24-15-规律总结 拓展演练 1.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的参数的取值范围问题时,数形结合是基本的解题方法,即首先把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式,然后构造两个函数f(x),g(x),即把方程写成f(x)=g(x)的形式,这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.2.二次函数y=a(x-h)2+k(a0),xp,q的最值问题实际上是函数在p,q上的
12、单调性问题.常用方法:(1)注意是“轴动区间定”,还是“轴定区间动”,找出分类的标准;(2)利用导数知识,最值可以在端点和极值点处寻找.3.f(x)0在p,q上恒成立问题,等价于f(x)min0,xp,q.-16-规律总结 拓展演练 1.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=ln xB.y=x2+1 C.y=sin xD.y=cos x 答案 解析 解析 关闭y=ln x既不是奇函数也不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点,不满足要求;y=sin x是奇函数不满足要求;y=cos x是偶函数,由其图象可知有无数个零点.故选D.答案 解析 关闭D-17-规律总结 拓展演练 2.
13、函数f(x)=2x-x-的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2 答案 解析 解析 关闭由 f(0)=20-0-20,f(1)=2-1-20,根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内.故选 B.答案 解析 关闭B-18-规律总结 拓展演练 3.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)A.2018年B.201
14、9年 C.2020年D.2021年 答案 解析 解析 关闭设从 2015 年后第 n 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元,由已知得 130(1+12%)n200,1.12n200130.两边取常用对数得 nlg 1.12lg200130,nlg2-lg1.3lg1.12 0.30-0.110.05=3.8,n4,故选 B.答案 解析 关闭B-19-规律总结 拓展演练 4.已知函数其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .f(x)=|,2-2+4,答案 解析 解析 关闭x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由题意画出函数图象为下图时才符合,要满足存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,应4m-m23,即 m 的取值范围为(3,+).答案 解析 关闭(3,+)