1、基础诊断考点突破课堂总结第3讲 平面向量的数量积 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积|a|b|cos|a|b|c
2、os|b|cos 基础诊断考点突破课堂总结2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|aa x21y21.(3)夹角：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.(4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22.基础诊断考点突破课堂总结3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)ca
3、cbc(分配律)基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()基础诊断考点突破课堂总结(3)两个向量的夹角的范围是0，2.()(4)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()(5)abac(a0)，则 bc.()基础诊断考点突破课堂总结2(2014新课标全国卷)设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab()A1 B2 C3 D5解析|ab|10，a22abb210.又|ab|6，a
4、22abb26.由，得 4ab4，即 ab1，故选 A.答案 A基础诊断考点突破课堂总结3(2014山东卷)已知向量 a(1，3)，b(3，m)若向量 a，b 的夹角为6，则实数 m()A2 3B.3C0 D 3基础诊断考点突破课堂总结解析 a(1，3)，b(3，m)，|a|2，|b|9m2，ab3 3m，又 a，b 的夹角为6，ab|a|b|cos 6，即 3 3m2 9m2 32，3m 9m2，解得 m3.答案 B基础诊断考点突破课堂总结4(2014新课标全国卷)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_解析 由AO 12(ABAC)可知 O 为
5、BC 的中点，即 BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以BAC90，所以AB与AC的夹角为 90.答案 90基础诊断考点突破课堂总结5(人教A必修4P104例1改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角 120，则 向 量 b 在 向 量 a 方 向 上 的 投 影 为_解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为：|b|cos 4cos 1202.答案 2基础诊断考点突破课堂总结考点一 平面向量的数量积 【例 1】(1)(2014重庆卷)已知向量 a 与 b 的夹角为 60，且 a(2，6)，|b|10，则 ab_.(2)(2015余姚中学测试)已知正方形 ABCD 的边长
6、为 1，点 E是 AB 边上的动点，则DE CB的值为_；DE DC 的最大值为_基础诊断考点突破课堂总结深度思考 对于第(2)小题同学们首先想到的方法是什么？这里提醒同学们此题可有三种解法：法一利用定义；法二利用向量的坐标运算；法三利用数量积的几何意义，你不妨试一试.解析(1)由 a(2，6)，得|a|(2)2(6)22 10，故 ab|a|b|cosa，b2 10 10cos 6010.(2)法一 如图，基础诊断考点突破课堂总结DE CB(DA AE)CBDA CBAECBDA 21，DE DC(DA AE)DC DA DC A EDCAEDC|AE|DC|DC|21.基础诊断考点突破课堂
7、总结法二 以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t0,1，则DE(t，1)，CB(0，1)，所以DE CB(t，1)(0，1)1.因为DC(1,0)，所以DE DC(t，1)(1,0)t1，故DE DC 的最大值为 1.基础诊断考点突破课堂总结法三 由图知，无论 E 点在哪个位置，DE 在 C B方向上的投影都是 CB1，DE CB|CB|11.当 E 运动到 B 点时，DE 在DC 方向上的投影最大即为 DC1，(DE DC)max|DC|11.答案(1)10(2)1,1基础诊断考点突破
8、课堂总结规律方法(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为3，若向量 b1e12e2，b23e14e2，则 b1b2_.(2)已知点 A，B，C 满足|AB|3，|BC|4，|CA|5，则ABBCBCCACAAB的值是_解析(1)b1b2(e12e2)(3e14e2)3e212e1e28e223211cos 386.基础诊断考
9、点突破课堂总结(2)法一 如图，根据题意可得ABC 为直角三角形，且 B2，cos A35，cos C45，基础诊断考点突破课堂总结ABBCBCCACAABBCCACAAB45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A2045153525.基础诊断考点突破课堂总结法二 易知ABBCCA0，将其两边平方可得AB 2BC 2CA 22(AB BC A BCA BCCA)0，故ABBCABCABC CA12(AB 2BC 2CA 2)25.答案(1)6(2)25基础诊断考点突破课堂总结考点二 平面向量的夹角与垂直 【例 2】(1)(2015湖州中学检测)平面向量 a，b 满足|a|1，
10、|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量 a，b 的夹角为_(2)已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，则实数 的值为_(3)在矩形 ABCD 中，设 AB，AD 的长分别为 2,1.若 M，N分别是边 BC，CD 上的点，且满足|BM|BC|CN|CD|，则AM AN的取值范围是_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，所以 a2ab2b27，所以 12cosa，b2227，所以cosa，b0.又a，b0，所以a，b2.(2)由APBC，知APBC0，即APB C(ABAC)(ACAB)(1)A B
11、AC AB 2AC 2(1)3212 940，解得 712.基础诊断考点突破课堂总结(3)如图，以 A 点为坐标原点建立平面直角坐标系，则各点坐标为A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，设|BM|BC|CN|CD|k(0k1)，则点 M 的坐标为(2，k)，点 N 的坐标为(22k,1)，则AM(2，k)，AN(22k,1)，AM AN2(22k)k43k，而 0k1，故 143k4.答案(1)2(2)712(3)1,4基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cos ab|a|b|(夹角公式)，abab0 等，可知平面向量的数量
12、积可以用来解决有关角度、垂直问题(2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)已知 a(2，1)，b(，3)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b.若 bc0，则 t_.解析(1)由 ab0，即 230，解得 32.由 ab，得6，即 6，此时，b3a，ab0，但 a 与 b 的夹角为，因此 32，且 6.基础诊断考点突破课堂总结(2)bcbta(1t)btab(1t)b2
13、t|a|b|cos 60(1t)|b|212t1t12t10，t2.答案(1)(，6)6，32 (2)2基础诊断考点突破课堂总结考点三 平面向量的模及应用 【例 3】(1)已知向量 a，b 均为单位向量，它们的夹角为3，则|ab|()A1 B.2 C.3 D2 基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点 D 满足|CD|1，则|OA OB OD|的取值范围是()A4,6 B 191，191C2 3，2 7 D 71，71基础诊断考点突破课堂总结解析(1)因为向量 a，b 均为单位向量，它们的夹角为3，所以|ab
14、|(ab)2 a22abb212cos 31 3.(2)由|CD|1 知，点 D 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的动点，设 D(x，y)，则(x3)2y21.|OA OB OD|(x1)2(y 3)2表示点 D 到点 P(1，3)的距离又|P C|(31)2(0 3)2 7，因此 71|PD|71，故选 D.答案(1)C(2)D基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|aa及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解(2)求向量
15、模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2013浙江卷)设 e1，e2 为单位向量，非零向量 bxe1ye2，x，yR.若 e1，e2 的夹角为6，则|x|b|的最大值等于_解析 因为 e1e2cos 6 32，所以 b2x2y22xy e1e2x2y2 3xy.所以x2b2x2x2y2 3xy11yx2 3yx，设 tyx，则1t2 3tt 3221414，所以 011t2 3t4，即x2b2的最大值为 4，所以|x|b|的最大值为 2.
16、答案 2基础诊断考点突破课堂总结【训练4】(1)(2015桐乡高级中学月考)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|PA3PB|的最小值为_(2)(2013湖南卷改编)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)以 D 为原点，分别以 DA，DC 所在直线为 x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，DPx，D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)PA(2，x)，PB(1，ax)，PA3PB(5,3a4x)，|PA3PB|225(3a4x)2
17、25，当 x3a4 时取等号|PA3PB|的最小值为 5.基础诊断考点突破课堂总结(2)建立如图所示的直角坐标系，由题意知 ab，且 a 与 b 是单位向量，可设OA a(1,0)，OB b(0,1)，OC c(x，y)cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21，即点 C(x，y)的轨迹是以 M(1,1)为圆心，1 为半径的圆而|c|x2y2，|c|的最大值为|OM|1，即|c|max 21.答案(1)5(2)21基础诊断考点突破课堂总结微型专题 坐标化解决数量积的计算问题由于平面向量的代数意义，涉及到数量积解决夹角、模、范围等问题时，要抓住图形的特点，建立直角坐标系，利用平面
18、向量的代数意义，可使繁杂的问题求解方便快捷基础诊断考点突破课堂总结【例 4】(1)若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.21 B1 C.2 D2(2)(2013浙江卷)设ABC，P0 是边 AB 上一定点，满足 P0B14AB，且对于边 AB 上任一点 P，恒有PBPCP0B P0C，则()AABC90 BBAC90CABACDACBC基础诊断考点突破课堂总结点拨(1)设出a，b，c的坐标表示形式，利用向量的坐标形式求解(2)建立以AB的中点为坐标原点的坐标系，表示出A、B、C、P0、P的坐标形式，利用向量的坐标形式求解基础诊断考点突破课堂
19、总结解析(1)设 a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则 x2y21，ac(1x，y)，bc(x,1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即 xy1.又 abc(1x,1y)，|abc|(1x)2(1y)2(x1)2(y1)2 32(xy)1.基础诊断考点突破课堂总结(2)设 AB4，以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y轴建立坐标系，则 A(2,0)，B(2,0)，则 P0(1,0)，设 C(a，b)，P(x,0)，PB(2x,0)，PC(ax，b)P0B(1,0)，P0C(a1，b)则PBPCP0B P0C(2x)(ax)a1 恒
20、成立，即 x2(2a)xa10 恒成立(2a)24(a1)a20 恒成立，a0.即点 C 在线段 AB 的中垂线上，ACBC，选 D.答案(1)B(2)D基础诊断考点突破课堂总结点评 在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多基础诊断考点突破课堂总结思想方法1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧基础诊断考点突破课堂总结易错防范1(1)0 与实数 0 的区别：0a00，a(a)00，a000；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0 不能推出 a0 或 b0，因为 ab0 时，有可能 ab.3在运用向量夹角时，注意其取值范围0，4在用|a|a2求向量的模时，一定要把求出的 a2 再进行开方.
