1、3.2 三角变换与解三角形-2-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2013 全国,理 17)(2013 全国,理 15)(2013 全国,理 17)(2014 全国,理 8)(2014 全国,理 16)(2014 全国,理 4)(2014 全国,理 14)(2015 全国,理 2)(2015 全国,理 16)(2015 全国,理 17)选择题填空题解答题 三角变换及解三角形是高考考查的热点,然而单独考查三角变换的题目较少,题目往往以解三角形为背景,在应用正弦定理、余弦定理的同时,经常应用三角变换进行化简,综合性比较强,难度不大.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是正弦定理、余弦定理与三角形
2、面积的小综合,正弦定理、余弦定理与三角函数性质的小综合,正弦定理、余弦定理、三角形面积及三角变换的大综合.-3-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2016 全国,理 17)(2016 全国,理 9)(2016 全国,理 13)(2016 全国,理 5)(2016 全国,理 8)(2017 全国,理 17)(2017 全国,理 14)(2017 全国,理 17)(2017 全国,理 17)选择题填空题解答题 解答题基本上是隔年出现,题目的数量有时是两个小题,有时是一小一大,有时是一个大题.-4-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 三角恒等变换及求值【思考】三角变换的基本思路及技巧有
3、哪些?例若tan=,则cos2+2sin 2=()34A.6425B.4825C.1D.1625 答案 解析 解析 关闭(方法 1)由 tan=34,得 cos2+2sin 2=co s2+4sin cos co s2+sin2=1+4tan 1+tan2=1+4341+34 2=42516=6425.故选 A.(方法 2)tan=34,3cos=4sin,即 9cos2=16sin2.又 sin2+cos2=1,9cos2=16(1-cos2),cos2=1625.cos2+2sin 2=cos2+4sin cos=cos2+3cos2=4cos2=41625=6425,故选 A.答案 解析
4、 关闭A-5-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思从函数名、角、运算三方面进行差异分析,变换的基本思路是:异角化同角,异名化同名,高次化低次;常用的技巧是:切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.对点训练 1(1)(2017 江苏,5)若 tan-4=16,则 tan=.(2)(2017 全国,理 14)函数 f(x)=sin2x+3cos x-34 0,2 的最大值是 .-6-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 答案 解析 解析 关闭(1)方法一:tan=tan -4+4=tan -4+tan 41-tan -4 tan 4=16+11-161=75.方法
5、二:因为 tan-4=tan-tan 41+tan tan 4=tan-11+tan =16,所以 tan=75,答案为75.(2)由题意可知 f(x)=1-cos2x+3cos x-34=-cos2x+3cosx+14=-cos-32 2+1.因为 x 0,2,所以 cos x0,1.所以当 cos x=32 时,函数 f(x)取得最大值 1.答案 解析 关闭(1)75(2)1 例 2(1)在ABC 中,B=4,BC 边上的高等于13BC,则 cos A=()A.3 1010B.1010C.-1010D.-3 1010-7-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 正弦定理、余弦定理的
6、简单应用【思考】应用正弦定理、余弦定理需要的条件及解决的问题有哪些?C 解析：(1)(方法1)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以 AC=2+2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得 cos A=2+2-22=22+52-922 2 5=-1010,故选 C.-8-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(方法 2)如图,在ABC 中,AD 为 BC 边上的高,由题意知BAD=4.设DAC=,则BAC=+4.BC=3AD,BD=AD.DC=2AD,AC=5AD.sin=2 5=2 55,cos=1 5=55.cosBAC=cos +4=cos c
7、os4-sin sin4=22(cos-sin)=22 55-2 55 =-1010,故选 C.-9-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(2)(2017山东,理9)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2a C.A=2BD.B=2A 答案 解析 解析 关闭sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Ac
8、os C,sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C,2sin Bcos C=sin Acos C,又ABC为锐角三角形,2sin B=sin A,由正弦定理,得a=2b.故选A.答案 解析 关闭A-10-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思1.已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=求C,由正弦定理求a,b.2.已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,最后利用A+B+C=,求另一角.3.已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=求C,再由正弦定理或
9、余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出最大边所对的角,再用正弦定理及三角形内角和定理求另外两个内角).-11-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练2已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90,且a=,求ABC的面积.2 答案 答案 关闭(1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac.又 a=b,可得 b=2c,a=2c.由余弦定理可得 cos B=2+2-22=14.(2)由(1)知 b2=2ac.因为 B=90,由勾股定理
10、得 a2+c2=b2.故 a2+c2=2ac,得 c=a=2.所以ABC 的面积为 1.-12-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解三角形【思考】在解三角形中,一般要用到哪些知识?例3(2017全国,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.已知 sin A+3cos A=0,a=2 7,b=2.-13-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解:(1)由已知可得 tan A=-3,所以 A=23.在ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos23,即 c2+2c-24=0.解得 c=-
11、6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD 面积与ACD 面积的比值为12sin 612=1.又ABC 的面积为12 42sinBAC=2 3,所以ABD 的面积为 3.-14-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练3ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若 c=7,ABC 的面积为3 32,求ABC 的周长.答案 答案 关闭(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,即 2cos Csin(A+B)
12、=sin C.故 2sin Ccos C=sin C.可得 cos C=12,所以 C=3.(2)由已知,12absin C=3 32.又 C=3,所以 ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以ABC 的周长为 5+7.-15-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解三角形与三角变换的综合问题【思考】在三角形中,对于含有边角关系的等式如何进行运算?例4(2017天津,理15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ab,a=5,c=6,sin B=(1)求b和sin A的值;35.(2)求 si
13、n 2+4 的值.答案 答案 关闭(1)在ABC 中,因为 ab,故由 sin B=35,可得 cos B=45.由已知及余弦定理,有 b2=a2+c2-2accos B=13,所以 b=13.由正弦定理sin =sin,得 sin A=sin=3 1313.所以,b 的值为 13,sin A 的值为3 1313.(2)由(1)及 a0).则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cos+cos=sin 中,有cos sin +cos sin =sin sin,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin AsinB=sin C.-25-规律总结 拓展演练(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有 cos A=2+2-22=35,所以 sin A=1-cos2=45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故 tan B=sin cos=4.