1、专题三 三角函数 3.1 三角函数的图象与性质-3-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2013 全国,理15)(2014 全国,理 6)(2015 全国,理 8)(2016 全国,理12)(2016 全国,理 7)(2016 全国,理14)(2017 全国,理 9)(2017 全国,理 6)选择题填空题 1.对三角函数图象的考查主要有:(1)图象的平移变换;(2)由三角函数图象确定三角函数的性质;(3)由三角函数的图象(部分)确定三角函数的解析式.2.对三角函数性质的考查:通过三角变换,先将其转化为 y=Asin(x+)的形式,再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性).抓
2、住考查的主要题目类型进行训练,重点是根据三角函数的图象求函数的解析式或者根据三角函数的解析式确定三角函数的性质.-4-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 三角函数的性质【思考1】求三角函数周期、单调区间的一般思路?【思考2】求某区间上三角函数最值的一般思路?例1设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关 答案 解析 解析 关闭f(x)=sin2x+bsin x+c=1-cos2 2+bsin x+c=-12cos 2x+bsin x+12+c.当 b=
3、0 时,f(x)=-12cos 2x+12+c,周期 T=;当 b0 时,f(x)=-12cos 2x+bsin x+12+c,因为 y=-12cos 2x 的周期为,y=bsin x 的周期为 2,故 f(x)的周期 T=2.f(x)的最小正周期与 b 有关,但与 c 无关,故选 B.答案 解析 关闭B-5-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思1.求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在其定义域内,先对三角函数的解析式进行恒等变形,把三角函数式化简成y=Asin(x+)的形式,再求解.求y=Asin(x+)的单调区间时,只需把(x+)看作一个整体代
4、入y=sin x的相应单调区间内即可,注意要先把化为正数.2.对于形如y=asin x+bcos x型的三角函数,要通过引入辅助角化为的形式来求解.y=2+2sin(x+)cos=2+2,sin=2+2-6-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 1(2017 全国,理 6)设函数 f(x)=cos +3,则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图象关于直线 x=83 对称C.f(x+)的一个零点为 x=6D.f(x)在 2,单调递减 答案 解析 解析 关闭由 f(x)=cos +3 的解析式知-2 是它的一个周期,故 A 正确;将 x=83 代入
5、 f(x)=cos +3,得 f 83 =-1,故 y=f(x)的图象关于直线x=83 对称,故 B 正确;f(x+)=cos +43 ,当 x=6时,f(x+)=cos 6+43 =0,故 C 正确;当 x 2,时,x+3 56,43 ,显然 f(x)先单调递减再单调递增,故 D错误.答案 解析 关闭D-7-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 三角函数图象的变换【思考】对三角函数y=Asin(x+)的图象进行了平移或伸缩变换后,其对应的解析式发生了怎样的变化?-8-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 例 2(2017 全国,理 9)已知曲线 C1:y=cos x,C2
6、:y=sin 2+23 ,则下面结论正确的是()A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线 C2B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线 C2C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线 C2D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线 C2 答案 解析 解析 关闭曲线 C1 的方程可化为 y=cos x=sin +2,把曲线 C1 上各点的横
7、坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得曲线 y=sin 2+2=sin2 +4,为得到曲线 C2:y=sin 2 +3,需再把得到的曲线向左平移12个单位长度.答案 解析 关闭D-9-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思1.平移变换理论(1)平移变换:沿x轴平移,按“左加右减”法则;沿y轴平移,按“上加下减”法则.(2)伸缩变换:沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(01)为原来的倍(纵坐标y不变);沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A0,由函数图象可知,其周期为 T=2 54-14=2,所以2=2,解得=.所以 f(x)=cos(x+).由图象可知,当 x=12 14+5
8、4=34时,f(x)取得最小值,即 f 34=cos 34+=-1,解得34+=2k+(kZ),解得=2k+4(kZ).令 k=0,得=4,所以 f(x)=cos +4.令 2kx+42k+(kZ),解得 2k-14x2k+34(kZ).所以函数 f(x)=cos +4 的单调递减区间为 2-14,2+34(kZ).结合选项知选 D.答案 解析 关闭D-12-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,用待定系数法求解.由图象中的最大值或最小值确定A,由周期确定,由图象上特殊点的坐标来确定,只有限定的取值范围,才能得出唯一解,否则的
9、值不确定,函数的解析式也就不唯一.2.将点的坐标代入函数的解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.例如,正弦型函数的图象中的“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0+=0+2k(kZ),其他依次类推即可.-13-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练 3(2017 四川乐山模拟)已知函数 f(x)=Asin(x+)0,|2 的图象(部分)如图所示,则 f-12=()A.-32B.32C.-3D.3 答案 解析 解析 关闭根据图象的最高点得到 A=2,由于4=56 13=12,T=2,=,故f(x)=2sin(x+),而 f 13=2sin 3+=2,所以=6,
10、所以 f-12=2sin-2+6=-3.答案 解析 关闭C-14-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 三角函数的图象与性质的综合应用【思考】如何求给定区间上函数 y=Asin(x+)的最值?例 4(2017 山东,理 16)设函数 f(x)=sin-6+sin-2,其中03.已知 f 6=0.(1)求.(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在-4,34 上的最小值.-15-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解:(1)因为 f(x)=sin-6+sin-
11、2,所以 f(x)=32 sin x-12cos x-cos x=32 sin x-32cos x=3 12 sin-32 cos=3sin-3.由题设知 f 6=0,所以6 3=k,kZ.故=6k+2,kZ,又 00,0)的最值问题,常用的方法是:首先要求出(x+)的取值范围,然后将(x+)看作一个整体t,利用y=Asin t的单调性求解.另外借助函数y=Asin(x+)的图象求最值也是常用方法.-17-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练4设函数f(x)=sin x+sin .(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;(2)不画图,说明函数y=f(x
12、)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到.+3 答案 答案 关闭(1)因为 f(x)=sin x+12sin x+32 cos x=32sin x+32 cos x=3sin +6,所以当 x+6=2k-2(kZ),即 x=2k-23(kZ)时,f(x)取最小值-3.此时 x 的取值集合为 =2-23,Z.(2)先将 y=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变),得 y=3sin x 的图象;再将 y=3sin x 的图象上所有的点向左平移6个单位,得 y=f(x)的图象.-18-规律总结 拓展演练 1.求三角函数的周期、单调区间及判断其奇偶性的问题,常通过三
13、角恒等变换将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一、最高次数为一次的形式.2.由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象有两种方法,一是先平移再伸缩,二是先伸缩再平移,要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;当由y=Asin x的图象得到y=Asin(x+)(0)的图象时,需平移的单位数应为,而不是|.-19-规律总结 拓展演练 3.函数 y=Asin(x+)(0)的性质主要有:(1)奇偶性,当=k(kZ)时,函数 y=Asin(x+)为奇函数;当=k+2(kZ)时,函数y=Asin
14、(x+)为偶函数;(2)周期性,y=Asin(x+)的最小正周期为T=2;(3)单调性,由-2+2kx+2+2k(kZ)得单调递增区间,由2+2kx+32+2k(kZ)得单调递减区间;(4)对称性,令x+=k(kZ),求得对称中心,令 x+=k+2(kZ),求得对称轴.4.对于函数y=Asin(x+),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.-20-规律总结 拓展演练 1.要得到函数y=sin 的图象,只需将函数y=sin 4x的图象()4-3 A.向左平移
15、12个单位B.向右平移 12个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位 答案 解析 解析 关闭y=sin 4-3=sin 4 -12 ,只需将函数 y=sin 4x 的图象向右平移12个单位即可.答案 解析 关闭B-21-规律总结 拓展演练 答案 解析 解析 关闭f(x)=2sin +6 2cos +6=2sin 2+3,故最小正周期 T=22=故选 B.答案 解析 关闭B 2.函数 f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是()A.2B.C.32D.23.已知函数 f(x)=sin(x+)0,|2,x=-4为 f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象
16、的对称轴,且 f(x)在区间 18,536 单调,则 的最大值为()A.11B.9C.7D.5 -22-规律总结 拓展演练 答案 解析 解析 关闭题意得-4 +=1,1Z,4 +=2+2,2Z,解得=1+22+4,=2(k2-k1)+1,k1,k2Z.|2,=4或=-4.f(x)在 18,536 内单调,536 18 2,T6,即2 6,12.0,0 0,0,0 2 的周期为,若 f()=1,则 f +32 =()A.-2B.-1C.1D.2 答案 解析 解析 关闭由题意得=2 =2,所以 f()=Asin(2+)=1,所以 f +32 =Asin(2+3+)=-Asin(2+)=-1,故选 B.答案 解析 关闭B