1、专题一 融会贯通领悟四种数学思想 第 2 讲 分类讨论、转化与化归思想一 分类讨论思想分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想应用 1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论【例 1】(1)若函数 f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m)x在0，)上是增函数，则 a_(2)在等比数列an中，已知 a332，S392，则 a1_解析：(1)若 a1，有 a24，a1
2、m，解得 a2，m12.此时 g(x)x为减函数，不合题意若 0a1，有 a14，a2m，解得 a14，m 116，检验知符合题意所以 a14.(2)当 q1 时，a1a2a332，S33a192，显然成立当 q1 时，由 a332，S392，得a1q232，a1（1qq2）92，由，得1qq2q23，即 2q2q10，解得 q12或 q1(舍去)当 q12时，a1a3q26，综上可知，a132或 a16.答案：(1)14(2)32或 6探究提高1指数函数、对数函数的单调性取决于底数 a，因此，当底数 a 的大小不确定时，应分 0a1，a1 两种情况讨论2利用等比数列的前 n 项和公式时，若公
3、比 q 的大小不确定，应分 q1 和 q1 两种情况进行讨论，这是由等比数列的前 n 项和公式决定的变式训练(1)(2018全国卷)记Sn为数列an的前n 项和若 Sn2an1，则 S6_(2)函数 f(x)sin（x2），1x0，ex1，x0.若 f(1)f(a)2，则 a 的所有可能取值的集合是_解析：(1)因为 Sn2an1，当 n1 时，a12a11，解得 a11.当 n2 时，anSnSn12an1(2an11)，所以 an2an1(n2)因此数列an是以1 为首项，以 2 为公比的等比数列则 an2n1，a62532.所以 S62a612(32)163.(2)f(1)e01，即 f
4、(1)1.由 f(1)f(a)2，得 f(a)1.当 a0 时，f(a)1ea1，所以 a1.当1a0 时，f(a)sin(a2)1，所以 a22k2(kZ)所以 a22k12(kZ)，k 只能取 0，此时 a212，因为1a0，所以 a 22.所以实数 a 的所有可能取值的集合为 22，1.答案：(1)63(2)22，1应用 2 由图形位置或形状引起的分类讨论【例 2】(1)(2017全国卷)设 A，B 是椭圆 C：x23 y2m1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足AMB120，则 m 的取值范围是()A(0，19，)B(0，3 9，)C(0，14，)D(0，3 4，)(2)已知变量
5、 x，y 满足的不等式组x0，y2x，kxy10表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 k 等于()A12 B.12 C0 D12或 0解析：(1)当 0m3 时，椭圆 C 的焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即3m3，解得 0m1.当 m3 时，椭圆 C 的焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60 3，即 m33，所以 m9，综上，m 的取值范围是(0，19，)(2)作出不等式组x0，y2x，kxy10表示的可行域如图阴影部分所示由图可知，若要使不等式组x0，y2x，kxy10表示的平面区域是直角三
6、角形，只有当直线 ykx1 与 y 轴或 y2x 垂直时才满足结合图形可知斜率 k 的值为 0 或12.答案：(1)A(2)D探究提高1圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论2相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论变式训练(1)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线 C 的离心率等于_(2)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c 且 b3，c1，ABC 的面积为 2，则 a 的值为_解析：(1)不妨设|P
7、F1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中 t0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，eca2c2a3t6t12；若该曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，eca2c2a3t2t32.所以曲线 C 的离心率为12或32.(2)由三角形面积公式，得1231sin A 2，故 sin A2 23.因为 sin2Acos2A1，所以 cos A 1sin2A 18913.当 cos A13时，由余弦定理，得a2b2c22bccos A3212213138，所以 a2 2.当 cos A13时，由余弦定理，得a2b2c22bcco
8、s A321221313 12，所以 a2 3.综上所述，a2 2或 a2 3.答案：(1)12或32(2)2 2或 2 3应用 3 由变量或参数引起的分类讨论【例 3】(2018北京卷)设函数 f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为 0，求 a；(2)若 f(x)在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围解：(1)由 f(x)ax2(3a1)x3a2ex，得 f(x)ax2(a1)x1ex，所以 f(2)(2a1)e2.由题设知 f(2)0，即(2a1)e20，解得 a12.(2)由(1)得 f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x
9、1)ex.若 a1，则当 x1a，1 时，f(x)0.所以 f(x)在 x1 处取得极小值若 a1，则当 x(0，1)时，ax1x10.所以 1 不是 f(x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是(1，)探究提高1参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等本题中参数 a与自变量 x 的取值影响导数的符号应进行讨论2如果涉及的参数有明确的几何意义，在进行讨论时，注意数形结合思想的直观性，分类讨论要标准明确，层次分明，做到不重不漏变式训练 已知 f(x)xaex(aR，e 为自然对数的底)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 f(x)e2x对 xR 恒成立
10、，求实数 a 的取值范围解：(1)f(x)1aex，当 a0 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(，)上单调递增；当 a0 时，由 f(x)0 得 xln a，所以函数 f(x)在(，ln a)上单调递增，在(ln a，)上单调递减(2)f(x)e2xaxexex，设 g(x)xexex，则 g(x)1e2xxex.当 x0 时，1e2x0，g(x)0，所以 g(x)在(，0)上单调递增当 x0 时，1e2x0，g(x)0，所以 g(x)在(0，)上单调递减所以 g(x)maxg(0)1，所以 a1.故 a 的取值范围是1，)二 转化与化归思想转化与化归思想方法就是在研究和解决有关数学问题时
11、采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想其应用包括以下三个方面：(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题；(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题应用 1 正与反、常量与变量的转化【例 1】(1)设 y(log2x)2(t2)log2xt1，若 t在2，2上变化时，y 恒取正值，则 x 的取值范围是_(2)若对于任意 t1，2，函数 g(x)x3m22 x22x 在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是_解析：(1)设 yf(t)(log2x1)t(log2x)22log2x1，则 f(t)是一次函数，
12、当 t2，2时，f(t)0 恒成立，则f（2）0，f（2）0，即（log2x）24log2x30，（log2x）210，解得 log2x1 或 log2x3，即 0 x12或 x8，故实数 x 的取值范围是0，12(8，)(2)g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则g(x)0 在(t，3)上恒成立，或g(x)0 在(t，3)上恒成立由得 3x2(m4)x20，即 m42x3x.当 x(t，3)时恒成立，所以 m42t3t 恒成立，则 m41，即 m5；由得 m42x3x，当 x(t，3)时恒成立，则 m4239，即 m373.所以使函数 g(x)在区间(t，
13、3)上总不为单调函数的 m的取值范围为373，5.答案：(1)0，12(8，)(2)373，5探究提高1第(1)题是把关于 x 的函数转化为在2，2上关于 t 的一次函数大于 0 恒成立的问题在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数2第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则变式训练(1)由命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，得 m 的取值范围是(，a)，则实数 a的取值是()A(，1)B(，2)C1 D2(2)已知函数 f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x
14、)是 f(x)的导函数对任意 a1，1，都有 g(x)0，则实数 x 的取值范围为_解析：(1)命题的否定“任意 xR，使 e|x1|m0”是真命题，所以 me|x1|(xR)恒成立又 e|x1|1，所以 m 的取值范围是(，1)，从而根据题设条件知 a1.(2)由题意，知 g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.对于1a1，恒有 g(x)0，即(a)0，所以（1）0，（1）0，即3x2x20，3x2x80，解得23x1.故当 x23，1 时，对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0.答案：(1)C(2)23，1应用 2 特殊与一般的转化【例 2】(1)过抛物线
15、yax2(a0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长度分别为 p，q，则1p1q等于()A2a B.12a C4a D.4a(2)在ABC 中，三边长 a，b，c 满足 ac3b，则tan A2tan C2的值为()A.15B.14C.12D.23解析：(1)抛物线 yax2(a0)的标准方程为 x21ay(a0)，焦点 F0，14a，过焦点 F 作直线垂直于 y 轴，则|PF|QF|12a，所以1p1q4a.(2)令 a4，c5，b3，则符合题意(取满足条件的三边)则由 C90，得 tan C21.由 tan A43，得2tan A21tan2 A243
16、，解得 tan A212.所以 tan A2tan C212112.答案：(1)C(2)C探究提高1一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果2对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案变式训练(1)如果 a1，a2，a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d0，那么()Aa1a8a4a5Ba1a8a4a5Ca1a8a4a5Da1a8a4a5(2)(2017浙江卷)已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，
17、最大值是_解析：(1)取特殊数an，其中 ann(nN*)，则 a1a88，a4a520，所以满足 a1a8a4a5.(2)由于|a|1，|b|2，不妨设 b(2，0)，a(cos，sin)，则 ab(2cos，sin)，ab(cos 2，sin)令 y|ab|ab|（2cos）2sin2（cos 2）2sin2 54cos 54cos，则 y 54cos 54cos，则 y2102 2516cos2.因为 0，所以 cos20，1，所以 y216，20由此可得(|ab|ab|)max 202 5，(|ab|ab|)min 164，即|ab|ab|的最小值是 4，最大值是 2 5.答案：(1)
18、B(2)4 2 5应用 3 函数、方程、不等式间的转化【例 3】已知函数 f(x)3e|x|，若存在实数 t1，)，使得对任意的 x1，m，mZ 且 m1，都有f(xt)3ex，试求 m 的最大值解：因为当 t1，)且 x1，m时，xt0，所以 f(xt)3exextext1ln xx.所以原命题等价转化为：存在实数 t1，)，使得不等式 t1ln xx 对任意 x1，m成立令 h(x)1ln xx(1xm)因为 h(x)1x10，所以函数 h(x)在1，)上为减函数又 x1，m)，所以 h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得对任意 x1，m，t 值恒存在，只需 1ln mm1.因为
19、h(3)ln 32ln1e3e ln 1e1，h(4)ln 43ln 4e3ln 1e1，又函数 h(x)在区间1，)上是减函数，所以满足条件的最大整数 m 的值为 3.探究提高1函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助2解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围变式训练 已知 e 为自然对数的底数，若对任意 x1e，1，总存在唯一的 y1，1，使得 ln xx1ay2ey 成立，则实数 a 的取值范围是()A.1e，eB.2e，eC.2e，D.2e，e1e解析：设 f(x)ln xx1a，x1e，1，所以 f(x)1x11xx 0，则 f(x)在1e，1 上是增函数因此 a1ef(x)a.设 g(y)y2ey，则 g(y)eyy(y2)，则 g(y)在1，0)上单调递减，在0，1上单调递增，且 g(1)1eg(1)e.因为对任意的 x1e，1，存在唯一的 y1，1，使得 f(x)g(y)成立，所以a1e，a 1e，e，解得2eae.答案：B