1、 6.3平面向量的数量积【考纲要求】1、平面向量的数量积 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2、向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.【基础知识】1、两个非零向量的夹角的概念已知非零向量与，作，则叫与的夹角。当时与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记。2、平面向量的数量积（内积）（1）平面向量的数量积（内积）的定义：已知两个非零的向量与，它们的夹角是，则数量|叫与的
2、数量积，记作，即有=|。（2）对于不谈它与其它向量的夹角问题。（3）与的夹角，记作,确定向量与的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点。如： 但是 （4）平面向量的数量积是一个实数，可正，可负，可零，它不是一个向量。（5）在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”， 向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影对应的有向线段的数量。它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零。（6）的几何意义：数量积等于的长度|与在的方向上的投影|的乘积。（7）向量的数量积公式变形后，得到，可以求两个向量的夹角。3、平面向量的数量积的运算律(1) = （交换律）;(2)（）= （）= （）(结合律)(3
3、)（）= +.（分配律）4、平面向量数量积的坐标表示(1)设=,=，则(竖乘相加).（2）设，则 ，。（3）设=,=，则（(竖乘相加等于零).设=,=，则|（斜乘相减等于零）（4）设=,=，为向量与的夹角，则（5）设,， =。5、温馨提示 （1）数量积不满足结合律，即 （2）消去律不成立。即由不能得到 （3）由不能得到或（4）乘法公式和完全平方和差仍然成立：【例题精讲】例1 已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值；（2）若，求的值 解 （1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，例2 如图，已知ABC中，|AC|=1,ABC=,BAC=,记。（1） 求关于的表达式;（2） 求的值域。解
4、：（1）由正弦定理，得 （2）由，得 ，即的值域为.6.3平面向量的数量积强化训练【基础精练】1设i，j是互相垂直的单位向量，向量a(m1)i3j，bi(m1)j，(ab)(ab)，则实数m的值为()A2B2C D不存在2设a，b是非零向量，若函数f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有()Aab BabC|a|b| D|a|b|3向量a(1,1)，且a与a2b方向相同，则ab的范围是()A(1，) B(1,1)C(1，) D(，1)4已知ABC中， ab0，SABC，|a|3，|b|5，则BAC等于() A 30 B150C150 D30或1505(2010辽宁)平面上O，A，B
5、三点不共线，设则OAB的面积等于()A.B.C.D.6在RtABC中，C90，AC4，则等于()A16 B8C8 D167已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是_8已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_9已知|a|2，|b|，a与b的夹角为45，要使ba与a垂直，则_.10在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM2，则)的最小值是_11已知|a|，|b|1，a与b的夹角为45，求使向量(2ab)与(a3b)的夹角是锐角的的取值范围12设在平面上有两个向量a(cos，sin)(00)，则有ba，又|a|，ab|a|2211，ab的范围是(1，)，故应选
6、C.4.C【解析】SABC|a|b|sinBAC，sinBAC，又ab0，且cos1，(2ab)(a3b)0，260，2或0)，解得k2.故使向量2ab和a3b夹角为0的不存在所以当2或3时，向量(2ab)与(a3b)的夹角是锐角评析：由于两个非零向量a，b的夹角满足0180，所以用cos去判断分五种情况：cos1，0；cos0，90；cos1，180；cos0且cos1，为锐角12.【解析】(1)证明：因为(ab)(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)0，故ab与ab垂直(2)由|ab|ab|，两边平方得3|a|22ab|b|2|a|22ab3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4ab
7、0，而|a|b|，所以ab0，则cossin0，即cos(60)0，60k18090，即k18030，kZ，又0360，则30或210.13.【解析】(1)证明：abcos()cossin()sinsincossincos0.ab.(2)由xy，得xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21，|b|21，kt33t0，kt33t，t2t32.故当t时，有最小值.【拓展提高参考答案】 2.【解析】(1)证明：mn，asin Absin B，即ab，其中R是ABC外接圆半径，ab.ABC为等腰三角形(2)由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40.ab4(舍去ab1)，Sabsin C4sin .3.【解析】(1)由|mn|，得m2n22mn3，即1123，cos A，0A，A.(2)|A|A|B|，bca，sin Bsin Csin A，sin Bsin，即sin Bcos B，sin.0B，B，B或，故B或.当B时，C；当B时，C.故ABC是直角三角形
