1、1.3 平面向量与复数-2-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2013 全国,理 2)(2013 全国,理 13)(2013 全国,理 2)(2013 全国,理 13)(2014 全国,理 2)(2014 全国,理 15)(2014 全国,理 2)(2014 全国,理 3)(2015 全国,理 1)(2015 全国,理 7)(2015 全国,理 2)(2015 全国,理 13)选择题填空题 平面向量和复数是高考命题的热点内容,每年都命题考查.对向量考查的重点内容有:向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则、两向量的数量积、向量共线与垂直的条件,考查的热点是两向量的数量积.复习备考时应抓住考
2、查的主要题目类型进行训练,重点是平面向量的线性运算;平面向量数量积的运算;.-3-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2016 全国,理 2)(2016 全国,理 13)(2016 全国,理 1)(2016 全国,理 3)(2016 全国,理 2)(2016 全国,理 3)(2017 全国,理 3)(2017 全国,理 13)(2017 全国,理 1)(2017 全国,理 12)(2017 全国,理 2)(2017 全国,理 12)选择题填空题.对复数考查的重点内容有:复数的基本概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的四则运算,考查的热点是复数的乘除运算.平面向量的垂直与夹角问题;复数的基本概念
3、及复数的乘除运算;复数的几何意义.-4-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 平面向量的线性运算【思考】向量线性运算的解题策略有哪些?例 1(1)在ABC 中,N 是 AC 边上一点,且 =12 ,P 是 BN 上一点,若 =m +29 ,则实数 m 的值是 .(2)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 =12(+),则 与 的夹角为 .答案 解析 解析 关闭(1)如图,设 =,则 =+=+=+()=+13 -=(1-)+3 .因为3=29,所以=23,所以 1-=13,故 m=13.(2)由 =12(+),得 +=2 .因为 AO 是半径,连接 AO并延长交圆于点
4、D,则 2|AO|=|AD|(直径),也就是|+|=|,即四边形 ABDC 是一个圆内接的平行四边形,且以直径为对角线,所以必定是一个矩形,得 与 的夹角为 90.答案 解析 关闭(1)13(2)90-5-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 题后反思向量线性运算有两条基本的解题策略:一是共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则;二是找出图形中的相等向量、共线向量,并将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.-6-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 对点训练 1 设 D 为ABC 所在平面内
5、一点,=3 ,则()A.=-13 +43 B.=13 43 C.=43 +13 D.=43 13 答案 解析 解析 关闭如图:=+,=3 ,=+43 =+43()=-13 +43 .答案 解析 关闭A-7-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 平面向量数量积的运算【思考】求平面向量数量积有哪些方法?例2(1)若向量a,b满足|a+b|=,则ab=()A.1B.2C.3D.5 10,|a-b|=6 答案 解析 解析 关闭|a+b|2-|a-b|2=4ab=4,ab=1.答案 解析 关闭A-8-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五(2)如图,在平行四边形
6、ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3 ,=2,则 的值是 .答案 解析 解析 关闭 =(+)(+)=+14 -34 =2 12 316 2,即 2=25-12 316 64,解得 =22.答案 解析 关闭22-9-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五(3)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案 解析 解析 关闭|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.答案 解析 关闭-2-10-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 题后反思平面向量数量积的计算方法:(1)已知
7、向量a,b的模及夹角,利用公式ab=|a|b|cos 求解.(2)已知向量a,b的坐标,利用向量数量积的坐标形式求解.即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(3)对于向量数量积与线性运算的综合问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.-11-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 对点训练2(1)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=()A.-2B.-1C.1D.2(2)(2017 全国,理 12)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则 (
8、+)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1-12-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 答案:(1)D(2)B 解析:(1)(方法一)由已知,得c=(m+4,2m+2).所以2ca=cb,即2(m+4)+2(2m+2)=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.(方法二)易知c是以ma,b为邻边的平行四边形的对角线向量,因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以该平行四边形为菱形,又由已知,得|b|=2|a|,故m=2.因为 cos=|,cos=|,所以|=|.由已知,得|b|=2|a|,-13-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五(2)以
9、BC 所在的直线为 x 轴,BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知 A(0,3),B(-1,0),C(1,0).设 P(x,y),则 =(-x,3-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y).所以 +=(-2x,-2y).所以 (+)=2x2-2y(3-y)=2x2+2-32 2-32-32.当点 P 的坐标为 0,32 时,(+)取得最小值为-32,故选 B.-14-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 平面向量的垂直与夹角问题【思考】如何求两个向量的夹角?例3(1已知向量则ABC=()A.30B.45C.60D.120
10、=12,32 ,=32,12,答案 解析 解析 关闭(1)因为 =12,32 ,=32,12,所以 =34+34=32.又因为 =|cosABC=11cosABC=cosABC,所以 cosABC=32,即ABC=30.故选 A.答案 解析 关闭(1)A-15-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五(2)已知向量a=(-3,2),b=(-1,0),且向量a+b与a-2b垂直,则实数的值为 .(3)若a,b,c是单位向量,且a=b+c,则向量a,b的夹角等于 .答案 解析 解析 关闭(2)由条件知|a|=13,|b|=1,ab=3.因为 a+b 与 a-2b 垂直,所以(a+
11、b)(a-2b)=0,即 a2-2b2+(1-2)ab=0,于是 13-2+(1-2)3=0,解得=-17.(3)a,b,c 是单位向量,模都为 1,由 a=b+c,得 a-b=c,所以(a-b)2=c2,即a2+b2-2ab=c2,得 ab=12.设 a 与 b 的夹角为,则|a|b|cos=12,即 cos=12,故=3.答案 解析 关闭(2)-17(3)3 题后反思1.求向量夹角的大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cos=(夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.2.确定向量夹角的范围:向量的数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,向量的数量积等
12、于0说明不共线的两向量的夹角为直角,向量的数量积小于0说明不共线两向量的夹角为钝角.-16-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五|3-17-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 对点训练3(1)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8(2)(2017山东,理12)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是 .答案 解析 解析 关闭(1)由题意可知,向量 a+b=(4,m-2).由(a+b)b,得 43+(m-2)(-2)=0,解得 m=8,故选 D.(
13、2)e1,e2 是互相垂直的单位向量,可设 a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+e2=(1,).则=60.cos=cos 60=|=3-2 2+1=12,即 3-=2+1,解得=33.答案 解析 关闭(1)D(2)33 -18-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 A.12B.22C.2D.2 答案 解析 解析 关闭(1)由题意,得 z=2i1+i=1+i,故|z|=12+12=2.(2)设 z=a+bi(a,bR),则=a-bi.由题意知,+=2=2,(-)i=-2=2,解得 =1,=-1,故 z=1-i.答案 解析 关闭(1)C(2)D-19-命题热点一 命题热
14、点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 题后反思利用复数的四则运算求复数的一般思路:(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则运算后将实部与虚部分别写出即可.(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.(3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用已知联立方程求解.-20-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 答案 解析 解析 关闭由 z=a+3i,得 z=|z|2=a2+3=4,所以 a2=1,a=1,选 A.答案 解析 关闭A 对点训练 4(2017 山东,理 2)已知 aR,i 是虚数单位.若z=a+3i,z=4,则 a
15、=()A.1 或-1B.7或-7C.-3D.3-21-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 答案 解析 解析 关闭设 z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数 z 在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以 +1 0,解得 a-1.故选 B.答案 解析 关闭B 复数的几何表示【思考】如何判断复数在复平面上的位置?例5(2017北京,理2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)-22-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五
16、题后反思判断复数对应的点在复平面内的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,bR)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限.-23-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 命题热点五 对点训练5复数z满足(-1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 解析 解析 关闭因为(-1+i)z=(1+i)2,所以 z=2i-1+i=2i(-1-i)(-1+i)(-1-i)=2(1-i)2=1-i.则在复平面上复数 z 对应的点位于第四象限,故选 D.答案 解析 关闭D-24-规律总结
17、拓展演练 1.解决向量问题的基本思路:向量是既有大小又有方向的量,具有几何和代数形式的“双重性”,一般可以从两个角度进行思考,一是利用其“形”的特征,将其转化为平面几何的有关知识进行解决;二是利用其“数”的特征,通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决.2.平面向量运算的解题策略:平面向量运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及向量的数量积运算.(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合,利用平行四边形、三角形法则求解.(2)已知条件中涉及向量的坐标运算,需建立直角坐标系,用坐标运算公式求解.-25-规律总结 拓展演练(3)在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图形中的
18、已知向量进行计算;求向量的数量积时,若题目中有两条互相垂直的直线,则可以建立平面直角坐标系,引入向量的坐标,将问题转化为代数问题解决,简化运算.(4)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程.3.利用数量积求解长度问题的处理方法:(1)a2=aa=|a|2 或|a|=.(2)|ab|=()2=2 2+2.(3)若 a=(x,y),则|a|=2+2.-26-规律总结 拓展演练-27-规律总结 拓展演练 1.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i 答案 解析 解析 关闭因为 z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以
19、=2-3i.答案 解析 关闭A-28-规律总结 拓展演练 答案 解析 解析 关闭3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i,故选 D.答案 解析 关闭D A.1+2i B.1-2i C.2+iD.2-i 2.(2017 全国,理 1)3+i1+i=()-29-规律总结 拓展演练 3.ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足,则下列结论正确的是()A.|b|=1 B.ab C.ab=1 D.(4a+b)=2a,=2a+b 答案 解析 解析 关闭在ABC 中,=(2a+b)-2a=b,所以|b|=2,故 A 不正确;因为 =2a,所以 a=12 ,而 与 的
20、夹角为 120,从而ab=12 =1222cos 120=-1,因此 B,C 不正确;因为(4a+b)=(4a+b)b=4ab+b2=-4+4=0,所以(4a+b),故选D.答案 解析 关闭D-30-规律总结 拓展演练 4.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案 解析 解析 关闭由题意知存在常数 tR,使 a+b=t(a+2b),得 =,1=2,解之,得=12.答案 解析 关闭12 -31-规律总结 拓展演练 答案 解析 解析 关闭因为在ABC 中,D 是 BC 的中点,所以 +=2 .又因为 =,所以 =2 +2,=2 -2.所以 =4 2-24=36 2-24=4,同理,=4 2-24=-1,因此 2=58,2=132,=4 2-24=16 2-24=78.答案 解析 关闭78 5.如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4,=-1,则 的值是 .