1、 20.2直接证明与间接证明【考纲要求】1、了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2、了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.3、了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【基础知识】1.分析法：从原因推导到结果的思维方法. 2.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法. 3.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.应用反证法证明命题的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题结论相矛盾的假定；由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；间接证明命题为真.4.数学归纳法：设pn是一个与自然数相关的命题集
2、合，如果证明起始命题p1成立；在假设pk成立的前提上，推出pk1也成立，那么可以断定，pn对一切正整数成立.5.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法反证法.6.数学归纳法的步骤：（1）证明当n=1时，命题成立。（2）证明假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立。由（1）（2）得原命题成立【例题精讲】例1 已知a，b，c是互不相等的实数求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，由yax
3、22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，3(2a)24bc0.上述三个同向不等式相加得，4b24c24a24ac4ab4bc0，2a22b22c22ab2bc2ca0，(ab) 2(bc)2(ca)20，abc，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证例2 已知a0，1, 求证：.【证明】证法一：由已知1及a0，可知b0，要证，可证1，即证1abab1，这只需证abab0，即1，即1，而这正是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证证法二：1及a0，可知1b0，1，abab0,1abab1，(1a)(1b)1.由a0
4、,1b0，得1，即. 20.2直接证明与间接证明强化训练【基础精练】1用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容应是() A. B.C.且 D.或0，ab0，b0，a0，b1时，f(x)0.那么具有这种性质的函数f(x)_.(注：填上你认为正确的一个函数即可)7如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(nN)行，在这些数中非1的数字之和是_1111211331146418试证：当nN*时，f(n)32n28n9能被64整除9如右图所示，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点，求证：平面PAC平面BDE. 10已知数列an的前n项的和Sn满足Sn2an3n (nN*)(
5、1)求证an3为等比数列，并求an的通项公式；(2)数列an是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由【拓展提高】1.如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M、N分别为AB、DF的中点(1)若平面ABCD平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线【基础精练参考答案】5. 1a解析：由题意得f(x)ax2a1为斜率不为0的直线，由单调性知f(1)f(1)0，(a2a1)(2aa1)0.1a1时，f(x)0，a0且f(1)a60.a6 (aZ)a6，7，8都符合要求7.
6、2n2n解析：所有数字之和Sn202222n12n1，除掉1的和2n1(2n1)2n2n.8.证明：证法一：(1)当n1时，f(1)64，命题显然成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，f(k)32k28k9能被64整除当nk1时，由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1时命题也成立根据(1)、(2)可知，对于任意nN*，命题都成立证法二：(1)当n1时f(1)64命题显然成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，f(k)32k28k9能被64整除由归纳假设，设32k28k964m(m为大
7、于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，nk1时命题也成立根据(1)(2)知，对于任意nN*，命题都成立9.证明：PO底面ABCD，POBD.又O是正方形的中心，BDAC.POAC0，BD平面PAC，又BD平面BDE，所以平面PAC平面BDE.10.证明：(1)Sn2an3n (nN*)，a1S12a13，a13.又由得an1Sn1Sn2an12an3，an132(an3)，an3是首项为a136，公比为2的等比数列an362n1，即an3(2n1)(2)解答：假设数列an中存在三项ar，as，at (rst)，它们可
8、以构成等差数列由(1)知arasat，则2asarat，6(2s1)3(2r1)3(2t1)，即2s12r2t，2s1r12tr(*)r、s、t均为正整数且rst，(*)左边为偶数而右边为奇数，假设不成立，即数列an不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列。【拓展提高参考答案】解：(1)取CD的中点G，连结MG、NG.设正方形ABCD、DCEF的边长为2，则MGCD，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF.可得MNG是MN与平面DCEF所成的角因为MN，所以sinMNG为MN与平面DCEF所成角的正弦值(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以ABEN.又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假设不成立所以ME与BN不共面，它们是异面直线