1、 2.1函数及其表示【考纲要求】 1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。 3、了解简单的分段函数，并能简单应用。【基础知识】1、映射的定义 设是两个非空的集合，如果按照对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作。映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B中的元素在集合A中没有元素和它对应。 2、函数的概念 设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一的值与它对
2、应，那么称为从集合到集合的一个函数。记作：.其中叫做自变量，叫做函数，自变量的取值范围（数集）叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。3、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两个要素。 4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。5、区间的概念和记号设，且，我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为。（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为。（3）满足不等式或的实数的集合叫做半闭半开区间，分别
3、表示为和。这里的实数和叫做相应区间的端点。 （4）实数可以用区间表示为“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。我们可以把满足的实数表示为 6、函数的表示方法函数的表示方法有三种。（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。（2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法。（3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。7、分段函数在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在
4、上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。8、求函数的定义域的主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数的真数；（4）指数函数和对数函数的底数且；（5）零次幂的底数； （6）函数的定义域是；（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。9、温馨提示（1+映射是一种特殊的函数，映射中的集合A,B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后顺序。A到B的映射与B到A的映射是不同的。而函数是数集到数集的映射，所以函数是特殊的映射，但是映射不一定是函
5、数。（2）求函数的定义域的主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数的真数；（4）指数函数和对数函数的底数且；（5）零次幂的底数； （6）函数的定义域是；（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。(3)函数的问题，要遵循“定义域优先”的原则。无论是简单的函数，还是复杂的函数，无论是具体的函数，还是抽象的函数，必须优先考虑函数的定义域。之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便。(4)函数的定义域和值域必须用集合表示，也可以用区间表示，但是不能用不等式表示。(5)判断两个函数是否相等，或者
6、是否是同一函数，关键是看两个函数的定义域与对应法则是否一致。(6)求函数的解析式的主要方法有以下四种：待定系数法：如果知道函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法；代入法：如果已知原函数的解析式，求复合函数的解析式时，可以用代入法；换元法：如果已知复合函数的解析式，求原函数的解析式时，可以用换元法。换元时，注意新“元”的范围；解方程组法：如果已知抽象函数的解析式，可以用解方程组的方法。(7)不等式中，可以小于等于，也可以大于，当时，不等式表示的是空集；但是区间中，一定是，它不可能是空集。(8)分段函数的首先分段处理，最后综合。【例题精讲】例1 求函数+的定义
7、域。解析：由题得所以函数的定义域为例2 已知是一次函数，且满足，求解析：由题可设，所以化简得 所以 所以 2.1函数强化训练【基础精练】1.下列是映射的是（ ）abceabcefabcefgabcefabefg 图1 图2 图3 图4 图5(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、52.已知,下列对应关系能构成从A到B的映射的是( ) A . B. C . D. 3.下列与函数y=x是同一函数的是（ ）(A) (B) (C) (D)4.已知函数的定义域为，集合，则（A） （B） （C） （D）5.，那么f(f(2)= ；如果，那么实数= 。6.求下列函数的
8、解析式（1）已知，求（2）已知，求（3）已知是一次函数，且满足，求 7.求下列函数的定义域； +. 8.求下列函数的值域（1） （2） （3） 【拓展提高】1.如果函数的定义域为R，求实数m的取值范围.2. 如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为y=f（x）.（1）求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值. 【基础精练参考答案】3.D【解析】两个函数的定义域和对应法则相同，就是同一函数。选择支A中函数和已知的函数定义域相同，但是值域不同，函数y=x的值域
9、是R,函数的值域是；选择支B中函数和已知函数的定义域不同，的定义域为；选择支C中函数和已知函数的定义域不同，的定义域是；选择支D中, ，函数和已知函数的定义域相同，对应法则也相同，所以它们是同一函数。4.D【解析】由题得 所以选择D.5.1 ；-4或【解析】f(f(2)=；当 舍去当当时，6.(1) 【解析】直接代入得(2) 【解析】(3)【解析】由题可设，所以化简得 所以 所以7.（1）【解析】由题得所以函数的定义域为(2) 【解析】由题得所以函数的定义域为（3）【解析】由题得所以函数的定义域为8.（1）【解析】 作出该二次函数的图像，然后截取区间的图像，得函数的值域为。（2）【解析】 所以函数的值域为（3）【解析】 所以函数的定义域为R. 所以函数的值域为【拓展提高参考答案】2. 【解析】（1）这个函数的定义域为（0，12）.当0x4时，S=f（x）=4x=2x；当4x8时，S=f（x）=8；当8x12时，S=f（x）=4（12x）=2（12x）=242x.这个函数的解析式为f（x）= （2）由（1）可画出函数的图像如右图所示，由图知， f（x）的最大值为8.