1、专题五 解析几何 第 3 讲 圆锥曲线中的热点问题1(2018浙江卷)已知点 P(0，1)，椭圆x24 y2m(m1)上两点 A，B 满足AP2PB，则当 m_时，点 B 横坐标的绝对值最大解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP2PB，得x12x2，1y12（y21），即x12x2，y132y2.因为点 A、B 在椭圆上，所以4x224（32y2）2m，x224 y22m，得 y214m34，所以 x22m(32y2)214m252m9414(m5)244，所以当 m5 时，点 B 的横坐标的绝对值最大，最大值为 2.答案：22(2017全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(
2、ab0)，四点 P1(1，1)，P2(0，1)，P31，32，P41，32 中恰有三点在椭圆上(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点(1)解：由于点 P3，P4 关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4.又由 1a2 1b2 1a2 34b2知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2 在椭圆 C 上因此 1b21，1a2 34b21，解得a24，b21.故椭圆 C 的方程为x24 y21.(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.如果直线 l 的斜
3、率不存在，l 垂直于 x 轴设 l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，k1k2yA1myA1m2m 1，得 m2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足从而可设 l：ykxm(m1)将 ykxm 代入x24 y21 得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知 16(4k2m21)0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8km4k21，x1x24m244k21.则 k1k2y11x1 y21x2 kx1m1x1kx2m1x22kx1x2（m1）（x1x2）x1x2.由题设 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)4m244k21(
4、m1)8km4k210.解得 km12.当且仅当 m1 时，0，所以直线 l 的方程为 ym12xm，即 y1m12(x2)，所以 l 过定点(2，1)3(2018北京卷节选)已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 63，焦距为 2 2.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M有两个不同的交点 A，B.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若 k1，求|AB|的最大值解：(1)由题意得 2c2 2，c 2.因为 eca 63，所以 a 3，则 b2a2c21.所以椭圆 M 的方程为x23 y21.(2)设直线 l 的方程为 yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由yxm，x23 y21，
5、得 4x26mx3m230，所以 x1x23m2，x1x23m234.所以|AB|（x2x1）2（y2y1）2 2（x2x1）2 2（x1x2）24x1x2123m22.当 m0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求热点 1 圆锥曲线中的最值、范围(讲练互动)圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解温馨提醒：圆
6、锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及求最值或范围问题时注意坐标范围的影响【例 1】(2019长郡中学质检)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，且过点(2，2)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)记 A，B 为椭圆 C 的左、右顶点，过 C 的右焦点F 作直线 l 交椭圆于 M，N 两点，分别记ABM，ABN的面积为 S1，S2，求|S1S2|的最大值解：(1)根据题意，得ca 22，4a2 2b21，a2b2c2.解得 a28，b24.故椭圆 C 的标准方程为x28 y241.(2)由(1)知 F(2，0)，当直线 l 的斜率不存在时，S1S2，于是|S1S2|0；当直线
7、 l 的斜率存在时，设直线 l：yk(x2)(k0)，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立yk（x2），x28 y241，得(12k2)x28k2x8k280.所以 x1x2 8k212k2，x1x28k2812k2，于是|S1S2|124 2|y1y2|2 2|k(x1x2)4k|2 2k 8k212k24k 8 2|k|12k28 21|k|2|k|8 22 24.当且仅当 k 22 时等号成立，此时|S1S2|的最大值为 4.综上，|S1S2|的最大值为 4.思维升华求圆锥曲线中范围、最值的主要方法1几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合
8、求解2代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围变式训练(2018浙江卷)如图，已知点 P是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y24x上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上(1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2y241(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围(1)证明：设 P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2.因为 PA，PB 的中点在抛物线上，所以 y1，y2 为方程yy022414y2x02，即 y22
9、y0y8x0y200 的两个不同的实根所以 y1y22y0，因此，PM 垂直于 y 轴(2)解：由(1)可知y1y22y0，y1y28x0y20，所以|PM|18(y21y22)x034y203x0，|y1y2|2 2（y204x0）.因此，PAB 的面积 SPAB12|PM|y1y2|3 24(y204x0)32.因为 x20y2041(x00)，所以 y204x04x204x044，5，因此，PAB 面积的取值范围是6 2，15 104.热点 2 定点、定值问题(多维探究)1由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜
10、截式：ykxm，则直线必过定点(0，m)2解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值角度 圆锥曲线中的定值问题【例 2】(2018北京卷)已知抛物线 C：y22px 经过点 P(1，2)过点 Q(0，1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y轴于 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点，QM QO，QN QO，求证：11为定值(1)解：因为抛物线 y22px 过点(1，2)，所以
11、 2p4，即 p2.故抛物线 C 的方程为 y24x.由题意知，直线 l 的斜率存在且不为 0.设直线 l 的方程为 ykx1(k0)由y24x，ykx1，得 k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得 k0 或 0k1.又 PA，PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点(1，2)从而 k3.所以直线 l 斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1)(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知 x1x22k4k2，x1x2 1k2.直线 PA 的方程为 y2y12x11(x1)令 x0，得点 M 的纵坐标为 yMy12x11 2kx11x11 2.同理得点 N
12、 的纵坐标为 yNkx21x21 2.由QM QO，QN QO，得 1yM，1yN.所以1111yM11yNx11（k1）x1x21（k1）x21k12x1x2（x1x2）x1x2 1k12k22k4k21k22.所以11为定值思维升华1求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值2定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的变式训练(2019河北省“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x24 y21，点 P(x
13、1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆 C 上两个动点，直线 OP，OQ 的斜率分别为 k1，k2，若 mx12，y1，nx22，y2，mn0.(1)求证：k1k214；(2)试探求OPQ 的面积 S 是否为定值，并说明理由(1)证明：因为 k1，k2 均存在，所以 x1x20.又 mn0，所以x1x24 y1y20，即x1x24 y1y2，所以 k1k2y1y2x1x214.(2)解：当直线 PQ 的斜率不存在，即 x1x2，y1y2 时，由y1y2x1x214，得x214 y210.又因为点 P(x1，y1)在椭圆上，所以x214 y211.所以|x1|2，|y1|22.所以 SPOQ12|x
14、1|y1y2|1.当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 ykxb.联立得方程组ykxb，x24 y21.消去 y 并整理得(4k21)x28kbx4b240，其中(8kb)24(4k21)(4b24)16(14k2b2)0，即 b214k2.所以 x1x2 8kb4k21，x1x24b244k21.因为x1x24 y1y20，所以x1x24(kx1b)(kx2b)0，得 2b24k21(满足 0)所以 SPOQ12|b|1k2|PQ|12|b|（x1x2）24x1x22|b|4k21b24k211.综合，POQ 的面积 S 为定值 1.角度 圆锥曲线中的定点问题【例 3】(201
15、9北京卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21 的右焦点为(1，0)，且经过点 A(0，1)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 O 为原点，直线 l：ykxt(t1)与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ与 x 轴交于点 N.若|OM|ON|2，求证：直线 l 经过定点(1)解：由题意，得 b21，c1，所以 a2b2c22，所以椭圆 C 的方程为x22 y21.(2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线 AP 的方程为 yy11x1 x1.令 y0 得点 M 的横坐标 xM x1y11.又 y1kx1t，从而|OM|xM|x1kx1t1.
16、同理，|ON|x2kx2t1.由ykxt，x22 y21，得(12k2)x24ktx2t220，则 x1x2 4kt12k2，x1x22t2212k2.所以|OM|ON|x1kx1t1 x2kx2t1x1x2k2x1x2k（t1）（x1x2）（t1）22t2212k2k22t2212k2k（t1）4kt12k2（t1）221t1t.又|OM|ON|2，所以 21t1t 2.解得 t0，所以直线 l 经过定点(0，0)思维升华1动直线 l 过定点问题设动直线方程(斜率存在)为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得 yk(xm)，故动直线过定点(m，0)2动曲线 C 过定点问题，
17、引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点变式训练 已知两点 A(2，0)，B(2，0)，动点P 在 y 轴上的投影是 Q，且 2PAPB|PQ|2.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)过 F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹 C 分别于点 G，H，M，N，且 E1，E2 分别是 GH，MN 的中点求证：直线 E1E2 恒过定点(1)解：设点 P 坐标为(x，y)，所以点 Q 坐标为(0，y)因为 2PAPB|PQ|2，所以 2(2x)(2x)y2x2，化简得点 P 的轨迹方程为x24 y221.(2)证明：当两直线的斜率都存在且不为 0 时，设
18、 lGH：yk(x1)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，lMN：y1k(x1)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，联立x24 y221，yk（x1），消去 y 得(2k21)x24k2x2k240.则 0 恒成立所以 x1x2 4k22k21，且 x1x22k242k21.所以 GH 中点 E1 坐标为2k22k21，k2k21，同理，MN 中点 E2 坐标为2k22，kk22，所以 kE1E23k2（k21），所以 lE1E2 的方程为 y3k2（k21）x23，所以过点23，0，当两直线的斜率分别为 0 和不存在时，lE1E2 的方程为 y0，也过点23，0.综上所述，直线 E1E2
19、 恒过定点23，0.热点 3 圆锥曲线中的存在性问题(讲练互动)存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在(3)得出结论【例 4】(2019山东湖北部分重点中学模拟)已知长轴长为 4 的椭圆x2a2y2b21(ab0)过点 P1，32，点 F 是椭圆的右焦点(1)求椭圆方程；(2)在 x 轴上是否存在定点 D，使得过 D 的直线 l 交椭圆 A，B 两点设点 E 为点 B 关于 x 轴的对称点，且 A，F，E 三点共线？若存在，求 D 的坐标；若不存在，说明理由解：(1
20、)因为 2a4，所以 a2，将点 P1，32 代入x2a2y2b21，得 b23.所以椭圆方程为x24 y231.(2)存在定点 D 满足条件设 D(t，0)，直线 l 方程为 xmyt(m0)，联立xmyt，x24 y231，消去 x，得(3m24)y26mty3t2120，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 E(x2，y2)，y1y2 6mt3m24，y1y23t2123m24且 0.由 A，F，E 三点共线，可得(x21)y1(x11)y20，则 2my1y2(t1)(y1y2)0，所以 2m3t2123m24(t1)6mt3m240，解得 t4，此时由 0 得 m24.所以存在
21、定点 D(4，0)满足条件，且 m 满足 m24.思维升华1此类问题一般分为探究条件、探究结论两种若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论2求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在变式训练(2019广东二模)在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 C：x26y 与直线 l：ykx3 交于 M，N 两点(1)设 M，N 到 y
22、轴的距离分别为 d1，d2，证明：d1和 d2 的乘积为定值；(2)y 轴上是否存在点 P，当 k 变化时，总有OPMOPN？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(1)证明：将 ykx3 代入 x26y，得 x26kx180.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x218，从而 d1d2|x1|x2|x1x2|18 为定值(2)解：存在符合题意的点设 P(0，b)为符合题意的点，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2，从而k1k2y1bx1y2bx22kx1x2（3b）（x1x2）x1x236k6k（3b）x1x26k（b3）x1x2.当 b3 时，有 k1k20 对任意 k 恒成立，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P(0，3)符合题意，使得OPMOPN.