1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲同角三角函数基本关系式与诱导公式基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sin cos tan，B 级要求；2.2，的正弦、余弦的诱导公式，B 级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：.sin2cos21 sin cos tan 基础诊断考点突破课堂总结2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin 余弦cos 正切tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限sin sin sin cos cos cos cos cos sin
2、sin tan tan tan 基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)sin()sin 成立的条件是为锐角()(2)六组诱导公式中的角可以是任意角()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化()(4)若 k2(kZ)，则 cos211tan2.()基础诊断考点突破课堂总结2tan 300sin 450的值为_解析 tan 300sin 450tan(36060)sin(36090)tan(60)sin 90tan 6011 3.答案 1 33(2015南通调研)已知 sin52 1
3、5，那么 cos _.解析 sin52 sin2 cos，cos 15.答案 15基础诊断考点突破课堂总结4已知 是第二象限角，sin 513，则 cos _.解析 由平方关系，得 cos 1sin21213.答案 12135(苏教版必修 4P23T11(1)改编)已知 tan 2，则 sin cos _.解析 sin cos sin cos sin2cos2 tan tan21222125.答案 25 基础诊断考点突破课堂总结考点一 同角三角函数基本关系式及应用【例 1】(1)已知 tan 2，则2sin 3cos 4sin 9cos _.(2)已知 tan 2，则 sin2sin cos
4、2cos2 _.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)2sin 3cos 4sin 9cos 2tan 34tan 92234291.(2)由 于tan 2，则sin2 sin cos 2cos2 sin2sin cos 2cos2sin2cos2tan2tan 2tan212222221 45.答案(1)1(2)45基础诊断考点突破课堂总结规律方法 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】若 3sin cos
5、 0，则1cos22sin cos 的值为_解 析 3sin cos 0 cos 0 tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103.答案 103基础诊断考点突破课堂总结【例 2】(1)(2014山东省实验中学诊断)已知 sin cos 18，且42，则 cos sin 的值为_(2)已知20，sin cos 15，则1cos2sin2的值为_深度思考 第(2)小题有两种解法，其一结合平方关系解方程组求sin 与cos；其二求cos sin；你用到的哪一种？但作为选择题本题还可以根据已有的结论猜测sin 与cos.
6、基础诊断考点突破课堂总结解析(1)当42时，sin cos，cos sin 0，又(cos sin)212sin cos 11434，cos sin 32.(2)法一 联立sin cos 15，sin2cos21，基础诊断考点突破课堂总结由得，sin 15cos，将其代入，整理得 25cos25cos 120.因为20，所以sin 35，cos 45，于是1cos2sin21452352257.基础诊断考点突破课堂总结法二 因为 sin cos 15，所以(sin cos)2152，可得 2sin cos 2425.而(cos sin)2sin22sin cos cos2124254925，又
7、20，所以 sin 0，cos 0，所以 cos sin 75.于是1cos2sin21cos sin cos sin 257.答案(1)32 (2)257基础诊断考点突破课堂总结规律方法 求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式 sin cos，sin cos，sin cos 之间可建立联系，若令 sin cos t，则 sin cos t212，sin cos 2t2(注意根据 的范围选取正、负号)，这种关系在三角函数式的化简、求值、证明中十分有用基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】已知 sin cos 2，(0，)，则 tan _.解析 法一 由sin cos 2，sin2cos21，
8、得：2cos22 2cos 10，即2cos 1 20，cos 22.又(0，)，34，tan tan 34 1.基础诊断考点突破课堂总结法二 因为 sin cos 2，所以 2sin4 2，所以 sin4 1.因为(0，)，所以 34，所以 tan 1.法三 因为 sin cos 2，所以(sin cos)22，所以 sin 21.因为(0，)，2(0,2)，所以 232，所以 34，所以 tan 1.答案 1基础诊断考点突破课堂总结考点二 利用诱导公式化简三角函数式【例 3】(1)sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)_.(2)设 f()2sinco
9、scos1sin2cos32 sin22(12sin 0)，则 f 236 _.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)原式sin 1 200cos 1 290cos 1 020sin 1 050 sin(3360 120)cos(3360 210)cos(2360 300)sin(2360330)sin 120cos 210cos 300sin 330sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)sin 60cos 30cos 60sin 30 32 32 12121.基础诊断考点突破课堂总结(2)f()2sin cos cos 1sin2sin cos22sin
10、 cos cos 2sin2sin cos 12sin sin 12sin 1tan，f 236 1tan2361tan461tan 6 3.答案(1)1(2)3基础诊断考点突破课堂总结规律方法 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)sin(1 071)sin 99sin(171)sin(261)tan(1 089)tan(540)_.(2)化简：tancos
11、2sin32cossin_.解析(1)原式(sin 1 071)sin 99sin 171sin 261tan 1 089tan 540sin(33609)sin(909)sin(1809)sin(2709)tan(33609)tan(360180)sin 9cos 9sin 9cos 9tan 9tan 180000.基础诊断考点突破课堂总结(2)原式 tan cos cos cossintan cos cos cos sin sin cos cos sin 1.答案(1)0(2)1基础诊断考点突破课堂总结考点三 利用诱导公式求值【例 4】(1)已知 sin3 12，则 cos6 _.(2)
12、已知 tan6 33，则 tan56 _.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)3 6 2，cos6 cos23 sin3 12.(2)6 56 ，tan56 tan56 tan6 33.答案(1)12(2)33基础诊断考点突破课堂总结规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程常见的互余关系有3 与6；3 与6；4 与4 等，常见的互补关系有3 与23；4 与34 等基础诊断考点突破课堂总结【训练 4】(1)已知 sin712 23，则 cos1112 _.(2)若 tan()12，则 tan(3)_.解析(1)cos1112 cos1112 cos12cos12，而 sin712 sin212 c
13、os12 23，所以 cos1112 23.基础诊断考点突破课堂总结(2)因为 tan()tan 12，所以 tan(3)tan()tan 12.答案(1)23(2)12 基础诊断考点突破课堂总结思想方法1同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用基础诊断考点突破课堂总结2三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan xsin xcos x进行切化弦或弦化切，如asin xbcos xcsin xd
14、cos x，asin2xbsin xcos xccos2x等类型可进行弦化切(2)和积转换法：如利用(sin cos)212sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2 1 1tan2 tan 4.基础诊断考点突破课堂总结易错防范1诱导公式的应用及注意事项(1)应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值(2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似k的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负基础诊断考点突破课堂总结2化简三角函数应注意的几点(1)化简不同名的三角函数的式子，解答此类问题的一般规律是利用“化弦法”，即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦，以达到消元的目的(2)化简形如 A(A 可化为形如 a2 的三角函数式)，这种问题是利用 A a2|a|(a 是实数)化去根号(3)化简含有较高次数的三角函数式，此类问题多用因式分解、约分等.