1、 专题九 解析几何 2013.3【真题感悟】1. （2012天津）设，若直线与圆相切，则m+n的取值范围是（A） （B） （C） （D）2. （2012安徽）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若； 则的面积为 3. （2012新课标）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为 4. （2012浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若|MF2|F1F2|，则C的离心率是A B C D【考点梳理】1.直线：（1）直线的倾斜角与斜率：直线的
2、倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_与直线l_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_倾斜角的取值范围为_直线的斜率：一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k_0，；倾斜角是90的直线斜率不存在经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k_.直线的斜率与倾斜角的区别及联系：（）由定义可知，在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率所以在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况
3、，避免出现漏解的情形（）当已知k，求倾斜角时：k0时，=arctank；k0时，=+arctank。（）由正切函数的图象与性质可得：当（0，），且随的增大而增大，当时，k+；当（，），且随的增大而增大，当时，k。（2）直线方程的五种形式：名称方程适用范围点斜式不含垂直于x轴的直线斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况？改进后的点斜式：已知直线过点，常设其方程为或，
4、也可以采用改进后的点斜式：(直线斜率k存在时，为k的倒数)或，要根据题意选择直线方程的设法。（3）两条直线的位置关系：斜截式；一般式。垂直：；平行：；重合：.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2_；当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线_（4）三种距离公式：点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：|AB| _.点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离：d _.两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20 (C1C2)间的距离为d_.（5）直线系：与直线平行的直线可表示为Ax+By+m=0.( mR, Cm).；过点与直线平行的直线可表示为：；与直
5、线垂直的直线可表示为Bx-Ay+m=0.( mR)；过点与直线垂直的直线可表示为：.过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)过两直线的交点的直线系方程为参数，该直线系不含l2）。（6）关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等；若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直
6、线方程垂直（方程）可解得所求对称点.曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 2.圆：（1）圆的方程：圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.圆的一般方程： .当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形。圆的参数方程：（为参数）. 圆的参数方程为“三角换元”提供了样板。圆的直径式方程：已知直径（用向量易证）.方程表示圆的充要条件是：且且.（2）点与圆的位置关系：
7、给定点及圆.在圆内；在圆上；在圆外。（3）直线和圆的位置关系：判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： 代数法：几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离注意：计算直线被圆截得的弦长的常用方法：几何法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形（垂径定理）计算；代数法：运用韦达定理及弦长公式|AB|xAxB|. 当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；过点P(x0，y0)的圆的切线方程：()若P(x0，y0)在圆x2y2r2上，则以P为切点的圆的切线方程为；过圆上一点的切
8、线方程为：；过圆上一点的切线方程为： =R2（可用向量易证以上三个结论）。()若P(x0，y0)在圆x2y2r2外，则过P的切线方程可设为yy0k(xx0)，利用待定系数法求解说明：k为切线斜率，必须考虑斜率不存在的情况（4）圆与圆的位置关系的判定：设C1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，C2：(xa2)2(yb2)2r(r20)，则有以下五种位置关系：|C1C2|r1r2C1与C2_；|C1C2|r1r2C1与C2_；|r1r2|C1C2|r1r2C1与C2_；|C1C2|r1r2|(r1r2)C1与C2_；|C1C2|F1F2|)的点的轨迹平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为
9、定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹第二 定义平面内与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）平面内与定点和直线的距离相等的点的轨迹. （e=1）图形方程标准 方程(0)(a0,b0)y2=2px（p0）参数 方程(t为参数)范围a x a，byb|x| a，yRx 0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)焦距2c （c=）2c （c=）离心率
10、e=1准线x=x=渐近线 y=x焦半径通径 2p焦参数P（2）注意：定义的几点说明：要能够灵活应用圆锥曲线的两个定义（及其“括号”内的限制条件）解决有关问题，如果涉及到其两焦点(或两相异定点)，那么优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视第一定义和三角形中正余弦定理等几何性质的应用，尤其注意圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用。（）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在（）双曲线的定义用代数式表示为|MF1|M
11、F2|2a，其中2a|F1F2|时，动点轨迹不存在（）抛物线的定义实质上给出了一个重要的解题思路：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简另外抛物线的标准方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）；若是双曲线，则面积为.从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设
12、为.椭圆和抛物线中，过焦点并垂直于轴的弦称为，通径（长度为或2p）是过焦点的所有弦中最短的；双曲线中过焦点和同一支产生的弦中，通径最短；若与两支各交于一点，则未必最短。离心率对圆锥曲线形状的影响：椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义（第二定义）：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，且当0e1时为双曲线。这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。（）椭圆的离心率是衡量椭圆圆扁程度的量，可以看出，e越接近0，椭圆越圆
13、；e越接近1，椭圆越扁；对相同离心率的椭圆，它们的形状都相同（只是大小不同）。（）双曲线的离心率是衡量双曲线的双曲线张口的大小程度的量，一条渐近线的斜率为，可以看出，e越接近1，双曲线的焦点越靠近顶点，开口越小；e越大，双曲线的焦点越离开顶点，开口越大；对相同离心率的双曲线，它们的形状都相同（只是大小不同）。（）因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。4. 解析几何综合问题：（1）求轨迹方程的常用方法：直接法：如果动点运动的条件是一些几何量的等量关系，这些关系简单明确，易于表述成含x,y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求轨迹方程的步骤一般分建系、设点、
14、列式、化简、证明（检验）五步，但最后一步可以省略，只须注明x、y的取值范围即可。待定系数法：若已知曲线的类型，如圆、椭圆、双曲线、抛物线等，则可以直接设出其标准方程，然后根据已知条件求出方程中参数的值（如a,b等），即可得到轨迹方程。定义法：若已知动点的轨迹满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程方法叫做定义法。代入法（相关点法）：若形成所求轨迹的动点P（x,y）随另一动点Q（x0,y0）的运动而运动，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x0,y0表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得到P的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相
15、关点法，也称代入法。用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x0=f(x,y）, y0=g(x,y）,然后代入已知曲线的方程；而求对称曲线（轴对称、中心对称等）方程实质上也是用相关点法解题。 点差法（设而不求法）：若所求轨迹的动点P（x,y）恰好是圆锥曲线弦AB的中点，则可以首先设出交点坐标A（x1,y1）、B（x2,y2），代入圆锥曲线的方程，通过作差，构造，从而建立中点坐标P（x,y）和斜率k=的关系，只要利用已知条件消去（常用三点共线或四点共线），得到的x、y之间的关系式即为所求轨迹方程，这种求轨迹方程方法叫做点差法，也称设而不求法。用点差法求轨迹方程时，要注意弦的中点一定要在圆锥曲线的
16、内部。消参法（交轨法）：若所求轨迹的动点P（x,y）的坐标x,y之间的直接关系不易建立时，可以适当的选取中间变量k，并用k表示动点的坐标x,y，从而得到动点P的参数方程，消去参数k,便可得到动点P的轨迹方程，这种求轨迹方程方法叫做消参法，也称交轨法。用消参法求动点的轨迹方程时，要消去参数，消参的方法有代入消参法与整体消参法两种，消参后，还需由参数的取值范围确定出变量x,y的取值范围。注意：轨迹和轨迹方程是两个不同的概念；说明轨迹时，一定要把轨迹准确的表述出来，不能有歧义。（2）直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公
17、共点；从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程f(x，y)0.由，消元，如消去y后得ax2bxc0.若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)若a0，设b24ac.a_0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b_0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c_0时，直线和圆锥曲线没有公共点（3）直线与圆锥曲线相交时的弦长问题：(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|结合韦达定理可转
18、化为|P1P2|或|P1P2|(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷，如过抛物线y22px (p0)焦点的弦长为（4）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题，常用“韦达定理”或“点差法”求解在椭圆1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px (p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.（5）圆锥曲线中的最值：椭圆中的最值：若P是椭圆：(0)上的任意一点，为左、右焦
19、点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有； ； ； 。 双曲线中的最值：若P是双曲线：(a0,b0)上的任意一点，为左、右焦点， O为坐标原点，则有：； 。 抛物线中的最值：若P是抛物线：y2=2px（p0）上的任意一点，为焦点，则有； 为一定点，则有最小值。（6）圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。求值构造等式、求变量范围构造不等关系。（7）解析几何解题注意事项：在设直线方程时，务必注意斜率不存在时的情况，还需根据已知条件注意设何种形式；直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方
20、程时，务必“判别式0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式0”.如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化.如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化。距离之比可通过相似转化为横（或纵）坐标之差的比；解答多参型问题，关键在于想方设法摆脱参变量的困扰这一过程中，参变量的分离、集中、消去、代换，是解答这类问题的关键所在。【要点突破】题型一、直线与圆：例1.（1）（2009全国）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 其中正确答案的序号是 。（写出所有正确答案的
21、序号）（2）（2008江苏）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。（1）求实数的取值范围，并问是否存在b使三个交点构成的三角形为圆C的内接直角三角形？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由；（2）求圆的方程；（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论； 题型二、椭圆、双曲线、抛物线：例2. （1）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_。（2）（2011浙江）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则（A） （B） （C） （D）（3）（2010湖南）过抛物线
22、x2=2py（p0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C若梯形ABCD的面积为12，则P=_。 （4）（2010湖南）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行
23、移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间冰 O化 区 域融 已 川 B(4,0)P3(8,6)图6A(-4,0)xyx=2题型三、圆锥曲线综合问题：例3. （1）定点问题：（2012福建）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率。过F1的直线交椭圆于A、B两点，且AB F2的周长为8。（）求椭圆E的方程。（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。（2）定值问题：（2012江
24、苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值（3）最值问题：已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，求的最大值（4）参数范围问题：如图所示，已知圆C：，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同
25、的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足的取值范围. （5）圆锥曲线中的存在性问题：（2012广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由。【巩固提高】1. 设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为 A B1 C2 D不确定2. 设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存
26、在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是ABCD3. 设直线过点A（2,4），它被平行线：x-y+1=0，x-y-1=0所截线段的中点在直线x+2y-3=0上，则直线 的方程为 。4.（2009江苏）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 5. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 6. （2008全国）已知F为抛物线C：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设.则与的比值等于 .7若动圆P过点N（-2,0）
27、且与另一圆M：（x-2）2+y2=8相外切，则动圆P的圆心的轨迹方程是 。8. 直线与双曲线相交于A、B两点，则直线l的倾斜角的范围是 。9. 已知双曲线1(a0，b0)的两个焦点F1，F2，M为双曲线上一点，且满足F1MF290，点M到x轴的距离为.若F1MF2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为_10. （2008全国）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程11. （2011新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -
28、3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C。（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。12. 如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，求的值。13. 如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.（1）求圆的方程;（2）当时，求直线的方程；（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.14. （ 2012四川）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相
29、交于点，且，求的取值范围。15.（2011天津）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点，已知为等腰三角形() 求椭圆的离心率；() 设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程16. （2008天津）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.（）求双曲线C的方程；（）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.17. （2012上海）在平面直角坐标系中，已知双曲线：（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两
30、点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.18. 已知点Q是抛物线C1：y2=2px（P0）上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y=2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B（）若点Q的坐标为（1，-6），求直线AB的方程及弦AB的长；（）判断直线AB与抛物线C2的位置关系，并说明理由19. 如图，已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E. （1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）连接AE，BD，证明：当m变化时，直线AE、BD相交于一定点。 专题九 解析几何参考答案
31、【真题感悟】1. D.圆心为，半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足，即，设，即，解得或2. .解法一：设及；则点到准线的距离为得： 又的面积为。解法二：由题意知，点到准线的距离为，所以不妨取A点坐标为，写出直线AB的方程，与抛物线方程联立，可得B点坐标为，的面积为3. 。三角形是底角为的等腰三角形4. B解：如图，|OB|b，|O F1|ckPQ，kMN直线PQ为：y(xc)，两条渐近线为：yx由，得：Q(，)；由，得：P(，)直线MN为：y(x)，令y0得：xM又|MF2|F1F2|2c，3cxM，解之得：，即e【要点突破】例1. （1） （2）解：（1）。设二次函数的图象与x轴
32、的交点分别为，与y轴的交点为，则是方程的两根，。若存在b满足条件，则必有.即：，又，即存在b= -1满足条件。（2）设所求圆的方程为。令得。又时，从而。所以圆的方程为。（3）整理为，过曲线与的交点，即过定点与。例2.（1）当直线过右焦点时的周长最大，；将带入解得；所以.（2）C 。解：由双曲线1知渐近线方程为，又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为，联立直线与椭圆方程消得，又将线段AB三等分，解之得.（3）2. 解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为，设A（），由题意可知由，消去y得，由韦达定理得，所以梯形ABCD的面积为：，所以（4）解：（）设边界曲线上点P的坐标为
33、.当2时，由题意知，因而其方程为故考察区域边界曲线（如图）的方程为（）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为例3. （1） （2）解：（1）由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。（2）由（1）得，又， 设、的方程分别为，。 。 。 同理，。（i）由得，。解得=2。 注意到，。 直线的斜率为。（ii）证明：，即。 。 由点在椭圆上知，同理。由得， 。 是定值。（3）解：（1）设，则， 即，即，所以动点的轨迹的方程 （2）解：设圆的圆心坐标为，则 圆的半径为 圆的方程为令，则，整理得， 由、解得，不妨设， ， 当时，由得， 当且仅
34、当时，等号成立当时，由得， 故当时，的最大值为 （4）解：（1）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|.又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得 设 ， 又当直线GH斜率不存在，方程为 （5）（1）由得，椭圆方程为，椭圆上的点到点Q的距离当即,得；当即,得（舍） （其实画图一看就知b=1) 椭圆方程为（2）当，取最大值，点O到直线距离，又，解得：所以点M的坐标为，的面积为【巩固提高】1. C 2.D。提示：。 3. 3x-y-2=0.提示：中点坐标为（1,1）。4. 。解：直线的方
35、程为：；直线的方程为：。二者联立解得：， 则在椭圆上，解得：5. .解:根据题意将此化成标准形式为：，得到，该圆的圆心为半径为 ，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心到直线的距离，即可，所以有，化简得解得，所以k的最大值是 .6. 。设AB所在直线方程为，； 7。 8. 9. yx.解：由题意得2c14，所以c4.又，所以a，b.所以渐近线方程为yx.10. 解：（）设，由可得：得：，由倍角公式，解得,则离心率（）过直线方程为,与双曲线方程联立将，代入，化简有，将数值代入，有,解得，故所求得双曲线方程为：11. 解：()设M(x,y),由已知得B(x,
36、-3),A(0,-1).=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).由题意可知（+）=0, 即（-x,-4-2y）(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.()设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。则O点到的距离.又，所以PBQMFOAxy当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.12. 解法一：（）设点，则，由得：，化简得（）设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）由已知，得则：过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有：
37、由得：，即13. 解：(1)设圆的半径为.圆与直线相切,.圆的方程为. （2）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，.由，得.，直线的方程为.所求直线的方程为或. （3）法一:.=.当直线与轴垂直时，得，则又,. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由解得. 综上所述，是定值，且. 14.15. 解：()设，因为为等腰三角形，若，则点在轴上，与矛盾，若，则，由，有，即，或，不合题意，所以，则，由，有，即，（舍去）或所以椭圆的离心率为() 解法1因为，所以，所以椭圆方程为直线的斜率，则直线的方程为两点的坐标满足方程组消去并整理得则，于是不妨设，设点的坐标为则，由得则
38、，由，得，化简得将代入得，所以因此点的轨迹方程为，解法2因为，所以，椭圆方程为直线的斜率，则直线的方程为两点的坐标满足方程组消去并整理得则，于是不妨设，因而点为椭圆短轴的下顶点如图，因为，所以点在线段的内部，设点的坐标为则过和作轴的垂线垂足分别为因为，则，于是，因为，是直线上的点，则，所以即，由得则，于是，因此点的轨迹方程为，解法3因为，所以，所以椭圆方程为直线的斜率，则直线的方程为两点的坐标满足方程组消去并整理得设，则，则因为，所以，将，代入式得，将代入并整理得将代入得，所以因此点的轨迹方程为，16. （）解：设双曲线的方程为（）由题设得，解得，所以双曲线方程为（）解：设直线的方程为（）点，
39、的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得此方程有两个一等实根，于是，且整理得由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，从而线段的垂直平分线方程为此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得整理得，将上式代入式得，整理得，解得或所以的取值范围是17.解：(1)双曲线，左顶点，渐近线方程：.过点A与渐近线平行的直线方程为，即.解方程组，得. 所以所求三角形的面积1为. (2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即. 由，得.设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.又，所以，故OPOQ. (3)当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时
40、，设直线ON的方程为(显然)，则直线OM的方程为.由，得，所以.同理. 设O到直线MN的距离为d，因为，所以，即d=.综上，O到直线MN的距离是定值. 18. 解：（）由在抛物线上可得， ，抛物线方程为 设抛物线的切线方程为：，联立，由，可得。可知可知 易求直线方程为；弦长为 。 （）设，三个点都在抛物线上，故有，作差整理得，所以直线：，直线： 因为均是抛物线的切线，故与抛物线方程联立，可得：，两式相减整理得：，即可知 ，所以直线：，与抛物线联立消去得关于的一元二次方程：易知其判别式，因而直线与抛物线相切，故直线AB与抛物线C2相切19. 解：（1）易知，6分 （2），先探索，当m=0时，直线Lox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点8分证明：设，当m变化时首先AE过定点NA、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线来AE与BD相交于定点高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
