1、天津一中 202020212 高一年级 数学学科期中质量调查试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分钟。考生务必将答案涂写在答题纸的规定位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!参考公式：柱体的体积公式VSh.其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式13VSh.其中 S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.圆锥的侧面积公式 S=.其中 r 是底面圆的半径，l 是母线长.球的表面积公式 S=,体积公式 V=.其中 r 是球的半径.第卷一选择题：（每小题 3 分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项
2、是符合题目要求的1如果 a，b是两个单位向量，则a与b一定（）A相等B平行C方向相同D长度相等2下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面D.圆心和圆上两点确定一个平面3若复数 211zxxi为纯虚数，则实数 x 的值为（）A-1B0C1D-1 或 14若 P 为两条异面直线lm，外的任意一点，则（）A过点 P 有且仅有一条直线与lm，都平行B过点 P 有且仅有一条直线与lm，都垂直C过点 P 有且仅有一条直线与lm，都相交D过点 P 有且仅有一条直线与lm，都异面5设 ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 coscoss
3、inbCcBaA，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定6已知向量(1,1),(2,),abx若ab与 42ba 平行，则实数 x 的值是（）A.-2B.0C.1D.27ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则 AB BC 的值为（）A.-19B.-14C.14D.198设复数1 iz （i 为虚数单位），z 的共轭复数为 z，则 2zz等于（）A.1 2i B.2i C.1 2i D.1 2i9已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，则此球的表面积等于（）A.B.C.D.10如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中/B
4、MED/EFCD CN 与 BM 为异面直线 DMBN以上四个命题中，正确的序号是（）ABCD第卷二填空题：（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11若i 为虚数单位，复数1 71izi，则|z _.12在正方体1111DABCA B C D中，对角线1AC 与底面 ABCD 所成角的正弦值为_.13如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，AB=6，BC=8，ACD 是等边三角形，则 AC BD 的值为_14一艘轮船按照北偏东 40方向，以 18 海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东 20方向上，经过 20 分钟的航行，轮船与灯塔的距离为 6 3 海里，则灯塔与轮船
5、原来的距离为15若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为 5，面积为15 的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为_.16在ABC 中，43=90ABACBAC，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若3()2PAmPBm PC（m 为常数），则 CD 的长度是_三解答题：本大题共 4 小题共 46 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 已知ABC的内角,A B C 的对边分别是,a b c，且tantanaBbA，1cos4C，3c.（1）求cos A的值；（2）求ABC的面积.18 在正方体1111ABCDA B C D中，E 为棱1DD 的中点，底面对角
6、线 AC 与 BD 相交于点O.（）求证：1/BD平面 ACE；（）求证：1BDAC.19 在三角形 ABC 中，2AB，1AC，2ACB，D 是线段 BC 上一点，且12BDDC，F 为线段 AB 上一点（1）若 ADxAByAC，求 xy的值；（2）求CF FA 的取值范围；（3）若 F 为线段 AB 的中点，直线CF 与 AD 相交于点 M，求CM AB 20如图，在四棱锥 PABCD中，底面是边长为 a 的正方形，侧棱,2PDa PAPCa，求证：（1）PD 平面 ABCD；（2）平面 PAC 平面 PBD；（3）二面角 PBCD的平面角的大小.参考答案：1【答案】D2【答案】C【解析
7、】对于 A 选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故 A 选项错误.对于 B 选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故 B 选项错误.对于 C 选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以 C 选项正确.对于 D 选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以 D 选项错误.故选：C3【答案】A4【答案】B【解析】解：因为若点 P 是两条异面直线lm，外的任意一点，则过点 P 有且仅有一条直线与lm，都垂直，选 B5【答案】B6【答案】D【解析】【详 解】因 为(1,1),(2,)abx，所
8、以(3,1),42(6,42),abxbax由 于 ab与42ba平行，得6(1)3(42)0 xx，解得2x.7【答案】A【解析】【详解】解：由于7AB，5BC，6CA，则25493619cos25735B，则|cos()AB BCABBCB 1975()1935 故选：A8【答案】C【解析】【详解】因为 23241212ziiizi ，故选 C9【答案】A10【答案】D【解析】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,BM 与 DE 为互相垂直的异面直线,故不正确;/EFABCD,故正确;CN 与 BM 为异面直线,故正确;由正方体性质可知 BN 平面 DEM,故 BNDM,故正确.故选
9、:D11【答案】5【解析】解：17(17)(1)68341(1)(1)2iiiiziiii ，则22|(3)(4)5z 故答案为：512【答案】33【解析】连结 AC，则 AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影，则A1CA 即为直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的正弦值，设正方体的棱长为 1，则，则，13【答案】14.【解析】【详解】ABBC，AB=6，BC=8，AC=10，cosBAC=35；又ACD 是等边三角形，AD=AC=10，cosCAD=12，AC BD=AC（AD AB）=AC AD AC AB=1010 12106 35=1414【答案】6 海里【分析】根据方位角可知
10、120CAB，利用余弦定理构造方程可解得结果.【详解】记轮船最初位置为 A，灯塔位置为 B，20 分钟后轮船位置为 C，如下图所示：由题意得：11863AC，1804020120CAB，6 3BC 则222cos2ACABBCCABAC AB，即：2361081122ABAB，解得：6AB 即灯塔与轮船原来的距离为6海里15【答案】3 9【解析】由扇形面积和半径，设扇形的半径为 r，弧长为l，则可得12Slr，由题意：1155,62ll ，设圆锥的底面半径为 r，则 26,3rr，该圆锥的高22534h，圆锥体积2211 341233Vrh，设球的半径为 R，由题意得34123R，3 9R，故
11、答案为：3 9.16【答案】0 或185【解析】,A D P 三点共线，可设0PAPD，32PAmPBm PC，32PDmPBm PC，即32mmPDPBPC，若0m 且32m，则,B D C 三点共线，321mm，即32，9AP，3AD，4AB，3AC，90BAC，5BC，设CDx，CDA，则5BDx，BDA根据余弦定理可得222cos26ADCDACxAD CD，222257cos26 5xADBDABAD BDx，coscos0，257066 5xxx，解得185x，CD 的长度为185当0m 时，32PAPC，,C D 重合，此时CD 的长度为 0，当32m 时，32PAPB，,B D
12、 重合，此时12PA，不合题意，舍去故答案为：0 或18517【解析】（1）因为tantanaBbA，则 asinBbsinAcosBcosA，由正弦定理可得cosAcosB，又,0,A B，故可得 AB；又因为2cos21 2coscosCABcos AA ，代值可得23cos8A，解得64cosA .又 AB，由内角和定理可知0,2A，故64cosA.（2）因为1cos4C，故可得154sinC；64cosA，故可得104sinA.由正弦定理可得6csinAabsinC，故可得三角形 ABC 面积11153 1562244SabsinC.18【解析】（）连结OE，在正方体1111ABCDA
13、 B C D中，因为OBOD，E 为棱1DD 的中点，所以1/BDOE，又因为OE 平面 ACE，1BD 平面 ACE，所以1/BD平面 ACE；（）在正方体1111ABCDA B C D中，由 ACBD，1DD 面 ABCD，AC 面 ABCD，所以1DDAC，又因为 BD 面1BDD，1DD 面1BDD，1BDDDD，所以 AC 面1BDD，又由1BD 面1BDD，所以1BDAC.19【答案】（1）13；（2）13,16；（3）45.【解析】（1）因为12BDDC，所以12ADABACAD，即 3122ADABAC，所以2133ADABACuuuruuuruuur，又 ADxAByAC，所
14、以21,33xy，因此13xy；（2）因为在三角形 ABC 中，2AB，1AC，2ACB，所以3CAB，3BC，因此CF FACAAFFACA FAAF FA ，设 AFx，由题意，0,2x，所以2cosCF FACA FAAF FACAFACABAF 221112416xxx，因为0,2x，所以21113,41616x；（3）因为 F 为线段 AB 的中点，所以111222CFCAABCACB，因为直线CF 与 AD 相交于点 M，不妨设01CMCF，01AMAD，所以22CMCACB，因此122AMCMCACACB，又23ADCDCBCACA，所以23 CBCAMA ，因此21223CAC
15、BCBCA，所以12223 ，解得：45，所以222222455555CM ABCACBCBCACBCA.20【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45【解析】（1）,2PDa DCa PCa，222PCPDDC.PDDC.同理可证 PDAD.,ADDCDQPD 平面 ABCD.（2）由（1）知 PD 平面 ABCD，AC 平面ABCD，PDAC.四边形 ABCD 是正方形，ACBD.又BDPDDQ，AC 平面 PBD.又AC 平面 PAC，平面 PAC 平面 PBD.（3）由（1）知 PD 平面 ABCD，BC 平面ABCD，PDBC.又,BCDC PDDCDQ，BC平面 PDC.PC 平面 PDC，BCPC.PCD为二面角 PBCD的平面角.在 Rt PDC中，,45PDDCaPCD.二面角 PBCD的平面角的大小为 45.