1、6.2.3组合6.2.4组合数教材要点要点一组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出(2)组合的特性：元素的无序性取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求(3)根据组合的定义，只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合；如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合要点二组合数与组合数公式1.组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的_
2、，用符号_表示1.同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念例如，从3个不同的元素a，b，c中取出2个元素的所有组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，即组合不是数，而是完成一件事的一种方法，而该问题的组合数为3，是一个数字2.我们可以从集合的角度理解组合数的概念例如，从3个不同的元素a，b，c中任取2个的所有组合构成的集合为Aab，ac，bc，则组合数即为集合A的元素个数3.符号C是一个整体，n，m均为正整数，且mn.2.组合数公式：C_(n，mN*，且mn).教材答疑教材P22思考(1)是组合问题；(2)是排列问题基础自测1.判断正误(正确
3、的画“”，错误的画“”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C.()(2)从a、b、c、d中选取2个合成一组，其中a、b与b、a是同一个组合()(3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个的组合数”()(4)组合和排列一样，都与“顺序”有关()2.(多选题)下列问题中是组合问题的是()A从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的社会调查，有多少种不同的选法？B从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？C3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？D3本相同的书分给5名同学，每人一本，有多少种分配方法？3.
4、AC()A9 B8 C7 D64.现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为_题型一组合数的相关计算师生共研例1解方程：(1)CC；(2)CCA.方法归纳进行组合数的相关计算时，注意以下几点：(1)像排列数公式一样，公式C一般用于计算，而公式C及C一般用于证明、解方程(不等式)等(2)要注意公式ACA的逆向运用(3)对于含有组合数的方程或不等式的问题，只需根据组合数公式的连乘形式或阶乘形式，把问题转化为不含组合数的方程或不等式问题但在求出结果后应注意验证能不能使组合数有意义，既要保证组合数C中下标n大于或等于该组合数的上标m，又要保证n，m均为正整数跟踪训练1(1)7C4C的值
5、为_(2)若CC，则C()A380 B190C18 D9题型二组合的应用微点探究微点1“至多”与“至少”问题例2(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一张，不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484(2)现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查，至少有1件是次品的抽法有_种方法归纳“至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)直接分类法，注意分类要细、要全；(2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏微点2“含”与“不含”问题例3在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出
6、5人参加市级培训，在下列条件下，各有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加方法归纳“含”或“不含”是组合应用的常见题型其解法一般为直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉再取出，分步计数必要时，还需对元素进行分类，对题目中的元素分类后，要弄清被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊元素，这是解题的关键当用直接法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略跟踪训练2从六位同学中选出四位参加一个座谈会，要求小张、小王两名同学中至多
7、有一个人参加，则不同选法的种数为()A9 B14 C12 D15题型三排列与组合的综合问题微点探究微点1先选后排问题例4(1)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为()A. 420 B. 660 C. 840 D. 880(2)用数字1，2，3，4，5、6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个(用数字作答)方法归纳解决先选后排问题时，应遵循三大原则：(1)先特殊后一般；(2)先组合后排列；(3)先分类后分步微点2分配问题例5把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，求在下列条
8、件下各有多少种不同的分配方法(1)甲2本、乙2本、丙2本；(2)甲1本、乙2本、丙3本；(3)甲4本、乙1本、丙1本方法归纳对于不等分组，只需将元素按要求依次分配给每个对象即可跟踪训练36名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A120种 B90种C60种 D30种易错辨析忽略元素无序，造成计数重复例65本不同的书全部分给4名同学，每名同学至少一本，不同的分法种数为_解析：先把5本书分成4堆，然后分给4名同学第1步，从5本书中任意取出2本捆绑成一个整体，有C种方法第2步，把4堆书分给4名同学，有A种方法由
9、分步乘法计数原理知，不同的分法种数为CA240.答案：240【易错警示】易错原因解答此题时易得到如下错解：先从5本书中取4本分给4名同学，有A种方法，剩下的1本书可以给任意一名同学，有4种分法，不同的分法种数为4A480.该解题过程中出现了重复选取的情况设5本书分别为a，b，c，d，e，4名同学分别为甲、乙、丙、丁按照上述分法可能有如下的表1和表2：表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲从结果上看以上两种情况是完全相同的，而在计数时把它们当成了不同的情况，造成重复计数纠错心得对于元素无序的分配问题，
10、一般不能采用分步计数，而是采取先选后排的方法，即可避免重复计数62.3组合62.4组合数新知初探课前预习要点一作为一组要点二1个数组合数C2.基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：AC与顺序有关，是排列问题；BD与顺序无关，是组合问题故选BD.答案：BD3解析：AC4339.故选A.答案：A4解析：由题意得，不同选法的种数为C15.答案：15题型探究课堂解透题型一例1解析：(1)由原方程得x12x3或x12x313，由得2x8且xN*.故原方程的解为x4或x5.(2)原方程可化为CA，即CA，x2x120，解得x4或x3.经检验，x4是原方程的解跟踪训练1解析：(1)7C4C740.(2)
11、CC，n18，CCC190.故选B.答案：(1)0(2)B题型二例2解析：(1)方法一：本题的解题关键是抓住有无红色卡片来讨论若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有CCC64种取法；若2张同色，则有CCCC144种取法若红卡片有1张，剩余2张不同色，则有CCCC192种取法；剩余2张同色，则有CCC72种取法，故共有6414419272472种取法故选C.方法二：从16张不同的卡片中任取3张，共有C种取法，其中有两张红色的有CC种取法，三张卡片颜色相同的有C4种取法所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法有CCCC4472种故选C.(2)方法一(直
12、接法)分两类：第1类，抽出1件次品，抽法种数为CC；第2类，抽2件次品，抽法种数为CC.由分类加法计数原理知，不同的抽法种数为CCCC56864.方法二(间接法)从10件产品中任取3件的抽法有C种，不含次品的抽法有C种，所以至少有1件是次品的抽法种数为CC64.答案：(1)C(2)64例3解析：(1)从中任取5人是组合问题，不同的选法种数为C792.(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，不同的选法种数为C36.(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需要从另外的9人中选5人，不同的选法种数为C126.(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：第1步，从甲、乙、丙中
13、选1人，有C种选法；第2步，从另外9人中选4人，有C种选法根据分步乘法计数原理，可得不同的选法种数为CC378.跟踪训练2解析：方法一(直接法)分两类：第1类，小张、小王两名同学都不参加，有C种选法；第2类，小张、小王两名同学中只有一人参加，有CC种选法根据分类加法计数原理，可得不同的选法种数为CCC9.方法二(间接法)不同的选法种数为CC9.答案：A题型三例4解析：(1)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，共有AC840种选法，其中不含女生的有AC180种选法，所以服务队中至少有1名女生的选法种数为840180660.故选B.(2)个位、十位和百位上的
14、数字之和为偶数的四位数可分为以下两类：第1类，个位、十位和百位上的数字为3个偶数，即个位、十位和百位上的数字由2，4，6构成，共有A种排法千位数字只能从1，3，5中选，所以有C种选法故本类包含AC个数第2类，个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数，先选出这个偶数有C种选法，然后选2个奇数，有C种选法，将3个数排序得到四位数的个位、十位和百位，有A种排法最后选千位数字，从余下的3个数中选，有C种选法故本类包含CCAC个数综上，根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有ACCCAC180(个).答案：(1)B(2)180例5解析：(1)第一步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有C种方法
15、；第二步，从剩下的4本不同的书中选2本分配给乙，有C种方法；第三步，剩下的2本不同的书全给丙，有C种方法根据分步乘法计数原理知，共有CCC90种不同的分配方法(2)第一步，从6本不同的书中选1本书分配给甲，有C种方法；第二步，从剩下的5本不同的书中选2本书分配给乙，有C种方法；第三步，剩下的3本不同的书全给丙，有C种方法根据分步乘法计数原理知，共有CCC60种不同的分配方法(3)第一步，从6本不同的书中选4本书分配给甲，有C种方法；第二步，从剩下的2本不同的书中选1本书分配给乙，有C种方法；第三步，剩下的1本书给丙，有C种方法根据分步乘法计数原理知，共有CCC30种不同的分配方法跟踪训练3解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；最后剩下的3名同学去丙场馆故不同的安排方法共有CC61060种故选C.答案：C
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