1、2020年高三数学最新信息卷（八）注意事项：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集为，集合，则（ ）ABCD2若复数，则（ ）ABCD3下列说法正确的是（ ）A向量，若，则B向量，若，则C向
2、量，则D向量，则在方向上的投影为4在中，且，则（ ）ABCD5设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为（ ）ABCD6在中，角，的对应边分别为，且的面积，且，则边的值为（ ）ABCD7的展开式中含的项的系数为（ ）ABCD8若正三棱柱的所有棱长都为，则其外接球的表面积为（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分92019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部
3、署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ）A这五年，2015年出口额最少B这五年，出口总额比进口总额多C这五年，出口增速前四年逐年下降D这五年，2019年进口增速最快10若正三棱柱的所有棱长都为，外接球的球心为，则下列四个结论正确的是（ ）A其外接球的表面积为B直线与直线所成角为CD三棱锥的体积为11已知函数，且都有，满足的实数有且只有个，给出下列四个结论正确的是（ ）A满足题目条件的实数，有且只有个B满足题目条件的实
4、数，有且只有个C在上单调递增D的取值范围是12已知是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，为原点，若，则下列结论正确的是（ ）A双曲线的离心率为B双曲线的渐近线为C的面积为D点到该双曲线左焦点的距离是第卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13二项式的展开式中常数项为_所有项的系数和为_14若，则_15学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型，如图，该模型为圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 （取）16设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为直角三角
5、形，则的坐标为 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）的内角，的对边分別为，且，（1）求的外接圆的面积；（2）求的取值范围18（12分）如图，在四棱锥中，底面，是边长为的正方形，且，点时的中点（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小19（12分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满足程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为分），从中随机抽取一个容量为的样本，发现所有数据均在内，现将这些分数分成以下组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，回答下列问题（1）算出第三组的频数
6、，并补全频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数（每组数据以区间的中点值为代表）20（12分）设向量，定义一种向量积已知，点在的图象上运动，是函数图象上的点，且（为坐标原点）（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递减区间21（12分）已知曲线的焦点是，是曲线上不同两点，且存在实数使得，曲线在点，处的两条切线相交于点（1）求点的轨迹方程；（2）点在轴上，以为直径的圆与的另一交点恰好是的中点，当时，求四边形的面积22（12分）已知数，其中，为自然对数底数（1）讨论函数的单调性；（2）若，函数对任意的都成立，求的最大值绝密 启用前（新高考）2020年高三最新信
7、息卷数学（八）答案第卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】B【解析】由，得，由，得，再得或，所以2【答案】C【解析】3【答案】B【解析】若，则，得A错误；，若，则，B正确；，可判断C错误；在方向上的投影为，D错误，故选B4【答案】C【解析】，5【答案】D【解析】不妨设，则，又，解得，则是的最小内角为，所以，所以，化简得，解得6【答案】B【解析】由题意得，三角形的面积，所以，所以，由余弦定理得，所以7【答案】D【解析】展开合并同类项后，含的项是8【答案】A【解析】球心到下底面的距离，所以其外接球的，所以其外接球的表面积为二
8、、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9【答案】ABD【解析】对于选项A，观察5个白色条形图可知，这五年中2015年出口额最少，故A正确；对于选项B，观察五组条形图可得，2015年出口额比进口额稍低，但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额，故这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；对于选项C，观察虚线折线图可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C错误；对于选项D，从图中可知，实线折线图2019年是最高的，即2019年进口增速最快，故
9、D正确10【答案】ACD【解析】球心到下底面的距离，所以其外接球的，所以其外接球的表面积为，A正确；直线与直线所成角即直线与直线所成角，在中，故B错误；面，得，为的重心，则，故面，即，故，C正确；根据体积公式可得，D正确11【答案】ACD【解析】，设进行替换，作的图象，在上满足的实数有且只有个，即函数在上有且只有个零点，由图象可知，结论D正确；由图象知在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论A正确，结论B错误；时，由知，所以在上递增，则在上单调递增，结论C正确，综上，正确的是ACD12【答案】BD【解析】由已知得，双曲线的渐近线为，取线段的中点，则，所以，得，故的面积为第卷三、填空题：
10、本大题共4小题，每小题5分13【答案】，【解析】展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的常数项为，令，得到所有项的系数和为，得到结果14【答案】【解析】，15【答案】【解析】设被挖去的正方体的棱长为，圆锥底面半径为，则，所以，制作该模型所需材料质量约为16【答案】或【解析】，当为直角顶点时，轴，设，在椭圆上，则，解得，当为直角顶点时，点在以为直径的圆周上，此圆周的方程是，与联立解得，在第一象限，则，综上，放入坐标为或四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1），由正弦定理知：，（2）由余弦定理得，而在中，18【答案】（1
11、）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意底面是正方形，底面，平面，平面，又平面，又，点是的中点，平面，平面，（2）过引直线，使，则，在平面内，在平面内，就是平面与平面所成二面角的棱，由条件知，已知，则平面，由作法知，则平面，所以，就是平面与平面所成锐二面角的平面角，在中，在平面与平面所成锐二面角的大小等于19【答案】（1）18人，频率分布直方图见解析；（2）众数为分，中位数为分，平均数为分【解析】（1）因为各组的频率之和等于，所以分数在内的频率为，所以第三组的频数为人，完整的频率分布直方图如图：（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为分；，设样本中位数
12、为，则，解得；又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为分，所以样本的众数为分，中位数为分，平均数为分20【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，由新的运算可得，代入，（2），由题意，只需求函数的单调递增区间，由，函数的单调递减区间为，函数在上的单调递减区间为21【答案】（1）；（2）【解析】（1）曲线就是抛物线，它的焦点坐标为，存在实数使得，则，三点共线，当直线斜率不存在时，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线的方程为，与联立消去，整理得，判别式，设，则，就是方程的两实根，切线斜率，则曲线在点处的切线方程是，即，同理得曲线在点处的切线方程是，联立即可求解两切线交点的坐标，已知，所以，上式化
13、简为（表示水平之嫌，不必求），所以，两切线交点的轨迹方程是（2）已知，在（1）的解答的基础上，代入中，解得，注意到对称性，求四边形面积，只需取即可，设中点为，则，已知点在以为直径的圆周上，则，设，由，得，解得，则，将直线的方程化为，则点到的距离，所以，在（1）的解答种，联立消去解得，则两切线交点坐标为，时，此时，点的坐标为，到的距离，所以，又已知，在两侧，所以22【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），当时，在上单调递增；当时，由，得当时，单调递减；当时，单调递增（2）由题意对任意的都成立，则在都成立，在上任取一点，在点处的切线方程为，若令，由在都成立，只需成立，即成立令，令，解得，当时，单调递增；当时，单调递减，则，最大值为