1、热点突破热点突破高考导航 函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其他知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，高考对导数计算的要求贯穿于与导数有关的每一道题目之中，多涉及三次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数以及由这些函数复合而成的一些函数的求导问题；函数的单调性、极值、最值均是高考命题的重点内容，在填空、解答题中都有涉及，试题难度不大运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，利用导数求解函数的最值，解决实际生活中的优化问题，在历年高考函数应用题中都有体现另外，在压轴题中常考查导数与含参不等式、方程、解析几何等方面的综合应用等，且难度往往较大热点突破热点一 利用导数解决函数的单调性问题函
2、数的单调性是函数在定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的单调性时，要先研究函数的定义域，再利用导数f(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性这类问题主要有两种考查方式：(1)判断函数f(x)的单调性或求单调区间(2)利用函数的单调性或单调区间，求参数的范围热点突破【例 1】(12 分)(2014广东卷节选)已知函数 f(x)13x3x2ax1(aR)，求函数 f(x)的单调区间解 f(x)x22xa，开口向上，44a4(1a)(2分)当 1a0，即 a1 时，f(x)0 恒成立，f(x)在 R 上单调递增(4 分)热点突破当 1a0 时，即 a1 时，令 f(x)0，解得 x11 1a，x
3、21 1a.(6 分)令 f(x)0，解得 x1 1a或 x1 1a；令 f(x)0，解得1 1ax1 1a；(8 分)所以 f(x)的单调递增区间为(，1 1a)和(1 1a，)；f(x)的单调递减区间为(1 1a，1 1a)(10 分)综上所述：当 a1 时，f(x)在 R 上单调递增；当 a1 时，f(x)的单调递增区间为(，1 1a)和(1 1a，)，f(x)的单调递减区间为(1 1a，1 1a)(12 分)热点突破构建模板 求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤第一步：求函数f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)；第二步：求函数f(x)的导数f(x)；第三步：根据f(x)0的零点
4、是否存在或零点的大小对参数分类讨论；第四步：求解(令f(x)0或令f(x)0)；第五步：下结论热点突破探究提高 讨论含参函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论，注意根据对应方程解的大小进行分类讨论热点突破【训练1】已知函数f(x)(a1)ln xax21，求函数f(x)的单调区间解 f(x)的 定 义 域 为(0，)，f(x)a1x 2ax 2ax2a1x.(1)当 a1 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；(2)当 a0 时，f(x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减；热点突破(3)当 0a1 时，令 f(x)0，解得 x1a2a，则当 x0，1a2a
5、 时，f(x)0；当 x1a2a，时，f(x)0，故 f(x)在0，1a2a上单调递减，在1a2a，上单调递增.热点突破【例 2】(2014南通检测)已知函数 f(x)x22aln x(a0)(1)若函数 f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线斜率为 2，求实数a 的值；(2)若函数 g(x)2xf(x)在1,2上是减函数，求实数 a 的取值范围热点突破解(1)由 f(x)x22aln x，得 f(x)2x2ax，而 f(2)4a2，解得 a2.(2)由题意知 g(x)2xx22aln x，则 g(x)2x2ax1x2，令 h(x)x2ax1，函数 g(x)在1,2上 是 减 函 数 等 价
6、 于 h(x)0 在 1,2 上 恒 成 立，只 需 满 足h10，h20，解得 a32.故实数 a 的取值范围是，32.热点突破探究提高 求解此类由函数单调性确定参数取值范围问题的关键在于根据函数的符号变化确定参数所满足的条件，函数在指定区间内不单调也就是导函数在指定区间内符号发生变化，此类问题的求解，一般是利用补集思想，先求函数在指定区间内单调时对应的参数取值范围，然后求解补集，也可根据导函数图象的特征列出对应的条件热点突破【训练2】已知函数f(x)exln xaex(a0)(1)若函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线与直线xey10垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(
7、0，)上是单调函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)exln xex1xaex1xaln x ex，f(1)(1a)e，由(1a)e1e1 得 a2.热点突破(2)由(1)知 f(x)1xaln x ex，若 f(x)为单调递减函数，则f(x)0，即1xaln x0，所以 a1xln x令 g(x)1xln x(x0)，则 g(x)1x21xx1x2(x0)，由 g(x)0 得 x1，故 g(x)在(0,1上为单调递减函数，在1，)上为单调递增函数，此时 g(x)有最小值为 g(1)1，但 g(x)无最大值故 f(x)不可能是单调递减函数若 f(x)为单调递增函数，则 f(x)0，即1xal
8、n x0，所以 a1xln x，由上述推理可知此时 a1.故 a 的取值范围是(，1热点突破热点二 利用导数求解函数的极值、最值用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之一对于此类问题的求解，首先，要理解函数极值的概念，需要清楚导数为零的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点；其次，要区分极值与最值，函数的极值是一个局部概念，而最值是某个区间的整体性概念热点突破(2)若 kZ，且 k1 恒成立，求 k 的最大值【例3】(2014南京外国语学校、金陵中学联考)已知函数f(x)axxln x的图象在点xe(e为自然对数的底数)处的
9、切线斜率为3.(1)求实数a的值；解(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1.因为函数f(x)axxln x的图象在点xe处的切线斜率为3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1.热点突破(2)由(1)知，f(x)xxln x，又 k1 恒成立，即k1 恒成立令 g(x)xxln xx1，则 g(x)xln x2x12，令 h(x)xln x2(x1)，则 h(x)11xx1x 0，所以函数 h(x)在(1，)上单调递增热点突破因为 h(3)1ln 30，所以方程 h(x)0 在(1，)上存在唯一实根 x0，且满足 x0(3,4)当 1xx0 时，h(x)0，即 g(x)
10、x0 时，h(x)0，即 g(x)0，所以函数 g(x)xxln xx1 在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(x)ming(x0)x01ln x0 x01x01x02x01x0(3,4)，所以 k0)，则 t1，所以 mt1t2t11t1 1t11对任意 t1 成立因为 t1 1t112t1 1t113，所以1t1 1t1113，当且仅当 t2，即 xln 2 时等号成立因此实数 m 的取值范围是，13.热点突破(3)解 令函数 g(x)ex1exa(x33x)，则 g(x)ex1ex3a(x21)当 x1 时，ex1ex0，x210，又 a0，故 g(x)0.所以 g(
11、x)是1，)上的单调增函数，因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1)ee12a.由于存在 x01，)，使 ex0ex0a(x303x0)0 成立，当且仅当最小值 g(1)0.热点突破故 ee12aee12.令函数 h(x)x(e1)ln x1，则 h(x)1e1x.令 h(x)0，得 xe1，当 x(0，e1)时，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的单调增函数所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1)热点突破注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0.当 x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立当 aee12，e(1，e)时，h(a)0，即 a1(e1)ln a，从而 ea1h(e)0，即 a1(e1)ln a，故 ea1ae1.热点突破综上所述，当 aee12，e 时，ea1ae1.