1、专题三 立体几何 第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积及体积1(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 2 B12 C8 2 D10解析：设圆柱的轴截面的边长为 x，则由 x28，得x2 2，所以 S 圆柱表2S 底S 侧2(2)22 22 212.故选 B.答案：B2(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1 挖去四棱锥O-EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱
2、的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为 6 cm 和 4 cm，故 V 挖去的四棱锥13 1246312(cm3)又 V 长方体664144(cm3)，所以模型的体积为V 长方体-V 挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g)答案：118.83(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正
3、多面体”(图 1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_解析：(1)法 1：由“半正多面体”的结构特征及棱数为 48 可知，其上部分有 9 个面，中部部分有 8 个面，下部分有 9 个面，共有 29826(个)面法 2：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)面数(F)棱数(E)2(欧拉公式)由图形知，棱数为 48 的半正多面体的顶点数为 24，故由 VFE2，得面数 F2EV2482426.(2)作中间部分的横截面，由题意
4、知该截面为各顶点都在边长为 1 的正方形上的正八边形ABC-DEFGH，如图，设其边长为 x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长连接 AF，过H，G 分别作 HMAF，GNAF，垂足分别为 M，N.则 AMMHNGNF 22 x.又 AMMNNF1，则 22 xx 22 x1，解得 x 21.故半正多面体的棱长为 21.答案：26 21本讲高考命题主要考查的内容：(1)三视图的识别和简单应用；(2)空间几何体的表面积和体积的计算前者主要题型是选择题、填空题；后者各类题型均可能出现，在解答题中，与空间线、面位置关系证明相结合，面积、体积的计算作为其中的一问，难度中等热点 1 空间几何体的三视图
5、与直观图(自主演练)1几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等2由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体1如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P-BCD 的正视图与侧视图的面积之和为()A1 B2 C3 D4解析：设点 P 在平面 A1ADD1 的射影为 P，在平面C1CDD1 的射影为 P，如图所示所以三棱锥 P-BCD 的正视图与侧视图分别为PAD 与PCD，因此所求面积 SSPADSPCD121212122.答案：B2(2019佛山调研
6、)如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为 8，则俯视图中三角形的高 x 等于()A2 B3 C4 D1解析：由三视图知，该几何体为四棱锥(如图)因为 S 梯形 ABCD12(24)26，所以136x8，则 x4.答案：C3(2019北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_解析：由三视图，该几何体是如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1(棱长为 4)中，去掉四棱柱 MQD1A1-NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几何体因为 V 棱柱4（24）2224，所以所求
7、几何体的体积 V432440.答案：40思维升华1(1)由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认二要熟悉常见几何体的三视图2由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状热点 2 几何体的表面积与体积(多维探究)1柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S 柱侧Ch(C 为底面周长，h 为高)(2)S 锥侧12Ch(C 为底面周长，h为斜高)(3)S 台侧12(CC)h(C，C 分别为上下底面的周长，h为斜高)2柱体、锥体、台体的体积公式(1)V 柱体S
8、h(S 为底面面积，h 为高)(2)V 锥体13Sh(S 为底面面积，h 为高)(3)V 台13(S SSS)h(S，S分别为上下底面面积，h 为高)(不要求记忆)角度 空间几何体的表面积【例 1】(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A10 B12 C14 D16解析：观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，高为
9、 2，如图所示因此该多面体各个面中有 2 个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 2，故这些梯形的面积之和为 212(24)212.故选 B.答案：B思维升华1由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式2(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用变式训练 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A20 2 B24(21)C24(2 2)D20(21)解析：该几何体是把棱长为 2 的正方体挖去
10、同底高为 1 的圆锥形成的因为 S 圆锥侧rl1 2 2，所以几何体的表面积 S62212 224(21).答案：B角度 空间几何体的体积【例 2】(1)(2019浙江卷)祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A158 B162 C182 D324解析：如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为 6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下
11、底为 6，高为 3.则底面面积 S262 3462 327，因此，该柱体的体积 V276162.答案：B(2)(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30.若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_解析：在 RtSAB 中，SASB，SSAB12SA28，解得 SA4.设圆锥的底面圆心为 O，底面半径为 r，高为 h，在 RtSAO 中，SAO30，所以 r2 3，h2，所以圆锥的体积为13r2h13(2 3)228.答案：8思维升华1求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上2求不规则几何体的
12、体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解变式训练(2019天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_解析：如图所示，在四棱锥 V-ABCD 中，O 为正方形 ABCD 的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为 2，可得 OC1.设 M 为 VC 的中点，过点 M 作 MO1OC 交 OV 于点 O1，则 O1 即为圆柱上底面的中心所以 O1M12OC12，O1O12VO.因为 VO VC2OC22，所以 O1O1.可得 V 圆柱O1M2O
13、1O12214.答案：4热点 3 多面体与球的切、接问题(迁移探究)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径【例 3】(2019衡水中学检测)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是()A4 B.92C6 D.323解析：由 ABBC，AB6，BC8，得 AC10.要使球的体积 V 最
14、大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC 的内切圆的半径为 r.则126812(6810)r，所以 r2.2r43，不合题意球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大由 2R3，即 R32.故球的最大体积 V43R392.答案：B迁移探究 1 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上”，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，求球 O 的表面积解：将直三棱柱补形为长方体 ABEC-A1B1E1C1，则球 O 是长方体 ABEC-A1B1E1C1 的外接球所以体对角线 BC1 的长为球 O 的直径因此 2R 324212
15、213.故 S 球4R2169.迁移探究 2 若将本例中条件变为：一个圆锥的母线长为 2，圆锥的母线与底面的夹角为4，则圆锥的内切球的表面积为()A8 B4(2 2)2C4(2 2)2 D.32（4 2）249解析：圆锥的母线长为 2，圆锥的母线与底面的夹角为4，圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面半径为 2，设圆锥内切球的半径为 r，则122r122r122 2r1222，所以 r22 22 2.所以圆锥内切球的表面积为 4r24(2 2)2.答案：B思维升华1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“
16、切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点 P，A，B，C 中 PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题变式训练(2019全国卷)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O 的体积为()A8 6 B4 6 C2 6 D.6解析：因为点 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EFPB，因为CEF90，所以EFCE，所以 PBCE.取 AC 的中点 D，连接 BD，PD，易证 AC平面 BDP，所以 PBAC，又 ACCEC，AC，CE平面 PAC，所以 PB平面 PAC，所以 PBPA，PBPC，因为 PAPBPC，ABC为正三角形，所以 PAPC，即 PA，PB，PC 两两垂直，以 PA，PB，PC 为从同一顶点出发的三条棱补成正方体(如图)由 AB2，知正方体的棱长为 PAPBPC 2.则外接球的半径 R 满足(2R)23(2)26，所以 R 62.故球 O 的体积 V43R3 6.答案：D