1、题组层级快练(四十四)1已知a，b(0，1)且ab，下列各式中最大的是()Aa2b2B2C2ab Dab答案D解析只需比较a2b2与ab.由于a，b(0，1)，a2a，b2b，a2b2ab.2下列函数中，最小值为4的是()AyxBysinx(0x)Cy4exexDylog3xlogx3(0x1)答案C解析注意基本不等式等号成立的条件是“ab”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义域为x|xR，且x0，函数没有最小值；B中若sinx取到最小值4，则sin2x4，显然不成立D中没有最小值故选C.3设0ab，则下列不等式中正确的是 ()A. ab BabCab D. ab答案B解析方法一(特值法)：代
2、入a1，b2，则有0a11.50且b0，则ab的最大值为()A. B.C2 D4答案B解析2a2b2ab2，ab1，ab()2，故选B.5(2015湖南，文)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B2C2 D4答案C解析方法一：由已知得，且a0，b0，abb2a2，ab2.方法二：由题设易知a0，b0，2，即ab2，选C.6若x0，且b0，若2ab4，则的最小值为()A.B4C. D2答案C解析由题中条件知，2，当且仅当a1，b2时，等号成立，故4，即.8若x，y是正数，则(x)2(y)2的最小值是()A3 B.C4 D.答案C解析原式x2y24.当且仅当xy时取“”号9(2017金山模
3、拟)函数y(x1)的最小值是()A22 B22C2 D2答案A解析x1，x10.yx122222.当且仅当x1，即x1时，取等号10已知不等式(xy)()9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4C6 D8答案B解析(xy)()1aa1a2(1)2，当且仅当a，即ax2y2时“”成立(xy)()的最小值为(1)29.a4.11设实数x，y，m，n满足x2y21，m2n23，那么mxny的最大值是()A. B2C. D.答案A解析方法一：设xsin，ycos，msin，ncos，其中，R.mxnysinsincoscoscos()故选A.方法二：由已知(x2y2)(m2n2)
4、3，即m2x2n2y2n2x2m2y23，m2x2n2y22(nx)(my)3，即(mxny)23，mxny.12已知x，y，z(0，)，且满足x2y3z0，则的最小值为()A3 B6C9 D12答案A13(2017四川成都外国语学校)若正数a，b满足：1，则的最小值为()A16 B9C6 D1答案C解析方法一：因为1，所以abab，即(a1)(b1)1，所以2236.方法二：因为1，所以abab，b9a10(b9a)()1016106.方法三：因为1，所以a1，所以(b1)2236.14(1)当x1时，x的最小值为_；(2)当x4时，x的最小值为_答案(1)5(2)解析(1)x1，x10.x
5、x11215.(当且仅当x1.即x3时“”号成立)x的最小值为5.(2)x4，x13.函数yx在3，)上为增函数，当x13时，y(x1)1有最小值.15若a0，b0，ab1，则ab的最小值为_答案解析ab()2，当且仅当ab时取等号yx在x(0，上为减函数ab的最小值为4.16已知ab0，求a2的最小值答案16思路由b(ab)求出最大值，从而去掉b，再由a2，求出最小值解析ab0，ab0.b(ab)2.a2a2216.当a2且bab，即a2，b时等号成立a2的最小值为16.17(2017江西重点中学盟校联考)设x，y均为正实数，且，求xy的最小值答案16解析由，化为3(2y)3(2x)(2y)
6、(2x)，整理为xyxy8.x，y均为正实数，xyxy828，()2280，解得4，即xy16，当且仅当xy4时取等号，xy的最小值为16.18.如图，在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积答案(1)取BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2.(2)取BC为10 cm时，做出的圆柱形罐子
7、体积最大，最大值为 cm3.解析 (1)连接OC.设BCx，矩形ABCD的面积为S.则AB2，其中0x30.所以S2x2x2(900x2)900.当且仅当x2900x2，即x15时，S取最大值900 cm2.答：取BC为15 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900 cm2.(2)设圆柱底面的半径为r，高为x，体积为V.由AB22r，得r.所以Vr2x(900xx3)，其中0x0)的最小值为24D函数y23x(x0)的最大值为24答案D解析yx的定义域为x|x0，当x0时，有最小值2，当x0时，3x24，当且仅当3x，即x时取“”，y2(3x)有最大值24，故C项不正确，D项正确2(20
8、13福建，文)若2x2y1，则xy的取值范围是()A0，2 B2，0C2，) D(，2答案D解析2x2y22(当且仅当2x2y时等号成立)，2xy，得xy2，故选D.3(2014重庆)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析因为log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，且即a0，b0，所以1(a0，b0)，ab(ab)()77274，当且仅当时取等号，选择D项4(2016人大附中月考)设a，b，c均大于0，则“abc1”是“abc”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也
9、不必要条件答案A解析，当abc1时，(bc)(ca)(ab)abc.故abc1abc.反过来，若ab1，c4，有abc，但abc1，“abc1”是“abc”的充分不必要条件5(2017山东师大附中月考)已知a，b，cR，且abbcca1，那么下列不等式中正确的是()Aa2b2c22 B(abc)23C.2 Dabc(abc)答案B解析a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，三式相加可知2(a2b2c2)2(bcabac)，a2b2c21.a2b2c22ab2bc2ca12.(abc)23.6已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4C5 D6答案
10、B解析由题意知ab1，则mb2b，na2a，mn2(ab)44(当且仅当ab1时，等号成立)7已知函数yx4(x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab()A3 B2C3 D8答案C解析yx4x15，因为x1，得x10，0，所以由均值不等式得yx15251，当且仅当x1，即x2时，等号成立，所以a2，b1，ab3.8已知x，y为正实数，3x2y10，则W的最大值为_答案2解析方法一：由可得2，当且仅当3x2y，即x，y时等号成立方法二：易知W0，W23x2y210210()2()210(3x2y)20，W2，当且仅当3x2y，即x，y时等号成立9已知三个正数a，b，c成等比数列，则的最小值为_答
11、案解析由条件可知a，b，c0且b2ac，即b，故2，当且仅当abc时取等号，令t，则yt在2，)上单调递增，故其最小值为2，即的最小值为.10.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)答案a6 m，b3 m解析设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y，其中k是比例系数且k0.依题意要使y最小，只需求ab的最大值由题设，得4b2ab2a60(a0，b0)，即a2bab30(a0，b0)a2b2，2ab30.当且仅当a2b时取“”号，ab有最大值当a2b时有2ab30，即b22b150.解之得b13，b25(舍去)，a2b6.故当a6 m，b3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小