1、基础诊断考点突破课堂总结第1讲 导数的概念及其运算基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.导数概念及其实际背景，A 级要求；2.导数的几何意义，B 级要求；3.根据导数定义求函数 yc，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数，A 级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B 级要求；5.求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的导数，B 级要求基础诊断考点突破课堂总结1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数定义：设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若 x 无限趋近于 0 时，比值yx 无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在
2、 xx0 处，并称该常数 A为函数 f(x)在 xx0 处的，记作fx0 xfx0 x可导导数f(x0)知 识 梳 理基础诊断考点突破课堂总结几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为(2)称函数f(x)为f(x)的导函数切线斜率yf(x0)f(x0)(xx0)limx0fxxfxx基础诊断考点突破课堂总结2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)x(Q*)f(x).f(x)sin xf(x).f(x)cos xf(x).f(x)axf(x)(a0)f(x)exf(x).
3、f(x)logaxf(x).f(x)ln xf(x).x1cos xsin xaxln aex1xln a1x基础诊断考点突破课堂总结3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)(3)fxgx (g(x)0)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxgx24复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积yuux y对u u对x 基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)曲线的切线不一定与
4、曲线只有一个公共点()(3)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.()(4)f(axb)f(axb)()基础诊断考点突破课堂总结2(2014新课标全国卷改编)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a_.答案 3解析 ya 1x1，x0 时，ya12，a3.基础诊断考点突破课堂总结3(苏教版选修22P20T4改编)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值等于_答案 1解析 依题意知，y3x2a，则13ab3312ak，k13，由此解得a1，b3，k2，所以 2ab1.基础诊断考点突破课堂总结4设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)x
5、ex，则f(1)_.答案 2解析 设 ext，则 xln t(t0)，f(t)ln tt，f(t)1t1，f(1)2.基础诊断考点突破课堂总结5(2014江西卷)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_解析 由yex得yex，切线与2xy10平行，ex02，x0ln 2，ex02y0.故P(ln 2,2)答案(ln 2,2)基础诊断考点突破课堂总结考点一 利用定义求函数的导数【例1】利用导数的定义求函数f(x)x3的导数解 yf(xx)f(x)(xx)3x3x33x(x)23x2x(x)3x3x3x23xx(x)2，yx3x23xx(x)2，f(x)limx0yxlim
6、x0 3x23xx(x)23x2.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量 yf(xx)f(x)二比：求平均变化率yxfxxfxx.三极限：取极限，得导数 yf(x)limx0yx.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】函数 yx1x在x，xx上的平均变化率yx_；该函数在 x1 处的导数是_答案 11xxx 0基础诊断考点突破课堂总结考点二 导数的计算【例2】分别求下列函数的导数：(1)yexcos x；(2)yxx21x1x3；(3)yxsin x2cos x2；(4)yln 1x2.基础诊断考点突破课堂总结解(1)y(ex)cos xex(cos
7、x)excos xexsin x.(2)yx311x2，y3x22x3.(3)yxsin x2cos x2x12sin x，yx12sin x 112cos x.(4)yln 1x212ln(1x2)，y1211x2(1x2)1211x22xx1x2.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】分别求下列函数的导数：
8、(1)y11 x11 x；(2)ysin2x2；(3)yln2x1x.解(1)y11 x11 x 21x，y021x1x221x2.基础诊断考点突破课堂总结(2)ysin2x212(1cos x)，y12(cos x)12(sin x)12sin x.(3)yln2x1xln2x1xxln2x1x22x12x1xln2x1x22x2x1ln2x1x22x2x1ln2x12x1x2.基础诊断考点突破课堂总结考点三 导数的几何意义【例 3】(2013北京卷改编)已知曲线 C：yln xx.(1)求曲线 C 在点(1,0)处的切线 l1 的方程；(2)求过原点与曲线 C 相切的直线 l2 的方程解
9、设 f(x)ln xx，则 f(x)1ln xx2.(1)f(1)1ln 1121，即切线 l1 的斜率 k1.由 l1 过点(1,0)，得 l1 的方程为 yx1.基础诊断考点突破课堂总结(2)设 l2 与曲线 C 切于点 Px0，ln x0 x0，则切线 l2 方程为yln x0 x0 1ln x0 x20(xx0)，l2 过原点ln x0 x0 1ln x0 x20(x0)，化简得 ln x012，x0 e，l2：y 12 e 12e(x e)，整理得 y 12ex.即为 l2 的方程.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0
10、，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(1)(2015南京调研)曲线yxsin x在点(0,0)处的切线方程是_(2)(2015惠州调研)已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的切线方程为yax16，则实数a的值是_解析(1)yxsin x，y1cos x，当x0时，y1cos 02，故曲线yxs
11、in x在点(0,0)处的切线方程是y02(x0)，即2xy0.基础诊断考点突破课堂总结(2)先设切点为 M(x0，y0)，则切点在曲线 y0 x303x0 上求导数得到切线的斜率 kf(x0)3x203，又切线 l 过点 A、M 两点，所以 ky016x0，则 3x203y016x0联立、可解得 x02，y02，从而实数 a 的值为 ak21629.答案(1)2xy0(2)9基础诊断考点突破课堂总结思想方法1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值，即f(x)在xx0处的函数值(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数
12、求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导基础诊断考点突破课堂总结易错防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆，复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线与直线相切并不一定只有一个公共点例如，yx3在(1,1)处的切线l与yx3的图象还有一个交点(2，8).