1、数系的扩充与复数的引入(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设2(z)3(z)46i，则z()A12iB12iC1i D1iC设zabi(a，bR)，则abi，代入2(z)3(z)46i，可得4a6bi46i，所以a1，b1，故z1i.故选C.2设iz43i，则z()A34i B34iC34i D34iC法一：因为iz43i，所以z34i.故选C.法二：设zabi(a，bR)，则由iz43i，可得i(abi)43i，即bai43i，所以，即，所以z34i.故选C.3若复数z满足i，其中i为虚数单
2、位，则z()A1i B1iC1i D1iA由已知得i(1i)i1，则z1i，故选A.4若复数z满足iz24i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A(2,4) B(2，4) C(4，2)D(4,2)Cz42i对应的点的坐标是(4，2)，故选C.5若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a()A1B0C1 D2B(2ai)(a2i)4i，4a(a24)i4i.解得a0.故选B.6z1(m2m1)(m2m4)i，mR，z232i，则“m1”是“z1z2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件A因为z1z2，所以解得m1或m2，所以m1是z1z2的充分不必要条件7设
3、z的共轭复数是，若z4，z8，则等于()AiBiC1DiD设zxyi(x，yR)，则xyi，由z4，z8得，所以i.8如图所示，在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12i，2i, 0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A3iB3iC13iD13iD12i2i13i，所以C对应的复数为13i.9若复数(bR)的实部与虚部互为相反数，则b()ABCD2C因为i，又复数(bR)的实部与虚部互为相反数，所以，即b.10设zC，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()A实轴上B虚轴上C直线yx(x0)上D以上都不对C设zxyi(x，yR)，则z2(xyi)2x2y22xyi.z
4、2为纯虚数，yx(x0)11已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()A(1,5)B(1,3)C(1，)D(1，)C由已知，得|z|.由0a2，得0a24，1a215.|z|(1，)故选C.12设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是()A若zz0，则zzB|z1z2|Czz0z1z20Dz11是纯虚数或零D举例说明：若z14i，z222i，则z158i，z8i，zz0，但z与z都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1z2|2不一定等于(z1z2)2，故|z1z2|与不一定相等，B错；若z12i，z212i，则z34i，z34i，zz0，但z1z20不成立，故C错；
5、设z1abi(a，bR)，则1abi，故z112bi，当b0时是零，当b0时，是纯虚数故D正确二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_21复数z(52i)22120i，其实部是21.14. a为正实数，i为虚数单位，2，则a_.1ai，则|1ai|2，所以a23.又a为正实数，所以a.15设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_8abi53i，依据复数相等的充要条件可得a5，b3.从而ab8.16若关于x的方程x2(2i)x(2m4)i0有实数根，则纯虚数m_.4i设mbi(bR且b0)，则x
6、2(2i)x(2bi4)i0，化简得(x22x2b)(x4)i0，即解得m4i.三、解答题(本题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设复数zlg(m22m2)(m23m2)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是纯虚数？解(1)要使复数z为实数，需满足解得m2或1.即当m2或1时，z是实数(2)要使复数z为纯虚数，需满足解得m3.即当m3时，z是纯虚数18(本小题满分12分)已知复数z11i，z1z2122i，求复数z2.解因为z11i，所以11i，所以z1z222i122i(1i)1i.设z2abi(a，bR)，由z1z21i，得(1
7、i)(abi)1i，所以(ab)(ba)i1i，所以解得a0，b1，所以z2i.19(本小题满分12分)计算：(1)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.解(1)原式1i.(2)原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.20(本小题满分12分)已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解设zabi(a，bR)，则abi且|z|1，即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而(34i)z是纯虚数，所以3a4b0，且3b4a0.由联立，解得或所以i，或i.21(本小题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)
8、求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积解(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由题意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，所以SABC1.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，所以SABC1.22(本小题满分12分)已知z为虚数，z为实数(1)若z2为纯虚数，求虚数z；(2)求|z4|的取值范围解(1)设zxyi(x，yR，y0)，则z2x2yi，由z2为纯虚数得x2，所以z2yi，则z2yi2iR，得y0，y3，所以z23i或z23i.(2)因为zxyixiR，所以y0，因为y0，所以(x2)2y29，由(x2)29得x(1,5)，所以|z4|xyi4|(1,5)6