1、山东省实验中学2021届高三数学第二次模拟试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Ax|5x1，Bx|x24，则AB（）A（2，3）B2，3）C2，1）D（2，1）2已知复数z（a3i）（3+2i）（aR）的实部与虚部的和为7，则a的值为（）A1B0C2D23设a50.3，blog0.30.5，clog30.4，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCcabDcba4已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A28B29C30D315已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，1），两圆圆心都在直线x
2、+2y+c0上，则t+c的值是（）A3B2C0D16市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）ABCD7两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（）A48B50C98D688中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的
3、还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4x）f（x），且当x0，2时的解析式为f（x），则函数yf（x）在x0，4时的图象与直线y1围成封闭图形的面积是（）A2B2log23C4D4log23二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得分，部分选对的得2分。9调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示：则下列说法正确的是（）A该高科技行业从业人
4、员中学历为博士的占一半以上B该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%C该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生D该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士10已知f（x）2cos2x+sin2x1（0）的最小正周期为，则下列说法正确的有（）A2B函数f（x）在上为增函数C直线是函数yf（x）图象的一条对称轴D点是函数yf（x）图象的一个对称中心11如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列说法正确的有（）A线段PQ长度的最小值为2B满足PQ2的情况只有4种C无论P，Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直D三棱锥PABQ
5、的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关12在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，；第n（nN*）次得到数列1，x1，x2，x3，xk，2；记an1+x1+x2+xk+2，数列an的前n项和为Sn，则（）Ak+12nBan+13an3Can（n2+3n）DSn（3n+1+2n3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设向量（1，m），（2，1），且（2+）7，则m 14已知sincos，且（0，）
6、，则的值为 15任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m5，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为 16已知过抛物线y2x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过坐标原点O的直线与双曲线1（a0，b0）交于M，N两点，点P是双曲线上一点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若不等式（|k1|+4|k2|）（|AF|BF|）|AF|+|BF|恒成立，则双曲线的离心率为 四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答
7、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在平面四边形ABCD中，ABC，ADC，BC4（1）若ABC的面积为3，求AC；（2）若AD3，ACBACD+，求tanACD18已知an是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）各项均为正数的数列bn的首项b11，其前n项和为Sn，且 _，若数列cn满足cnanbn，求cn的前n项和Tn在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题bn21；2bnbn1+bn+1（n2），b23；SnSn1（n2）19如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，点M，N分别是B1C
8、1和A1B1的中点，AA1ABBM2，A1AB60（1）求证：BN平面A1B1C1；（2）求二面角MABC的余弦值20每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣某高校为了解在校学生的每周阅读时间X（单位：小时），对全校学生进行了问卷调查从中随机抽取了100名学生的数据，统计如表：每周阅读时间X9，11）11，13）13，15）15，17）17，19）19，21）21，23频率0.050.10.150.40.20.060.04（1）根据频率分布表，估计这100名学生每周阅读时间的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为目前该校学生每
9、周的阅读时间X服从正态分布N（，2），用（1）中的平均值近似代替，且P（14X17.76）0.5，若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为：购书卡的金额（单位：元）2050概率记Y（单位：元）为甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额，求Y的分布列与数学期望21已知椭圆E：1（ab0）的左、右焦点分别为F1（，0），F2（，0），过点F2的直线l与椭圆交于不同两点M，N当直线l斜率为1时，弦MN的中点坐标为（）（1）求椭圆E的标准方程；（2）求F1M
10、N的内切圆半径r最大时，直线l的方程22已知函数f（x）exax（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a2时，求函数g（x）f（x）cosx在（，+）上的零点个数参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知集合Ax|5x1，Bx|x24，则AB（）A（2，3）B2，3）C2，1）D（2，1）解：Ax|5x1，Bx|2x2，AB2，1）故选：C2已知复数z（a3i）（3+2i）（aR）的实部与虚部的和为7，则a的值为（）A1B0C2D2解：z（a3i）（3+2i）3a+2ai9i6i23a+6+（2a9）i，所以复数z的实部与虚部分别为3a+6，2a9，则3a+6+2a
11、97，得a2故选：C3设a50.3，blog0.30.5，clog30.4，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbcaCcabDcba解：a50.3501， log0.31log0.30.5log0.30.3，0b1，clog30.4log310，cba，故选：D4已知等差数列an的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A28B29C30D31解：设等差数列共有（2n+1）项，由题意得S奇a1+a3+a2n+1，S偶a2+a4+a2n，故S奇S偶a1+（a3a2）+（a2n+1a2n），a1+d+da1+ndan+131929029故中间项an
12、+1为29故选：B5已知两圆相交于两点A（1，3），B（t，1），两圆圆心都在直线x+2y+c0上，则t+c的值是（）A3B2C0D1解：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB与直线x+2y+c0垂直，且AB的中点在这条直线x+2y+c0上；由AB与直线x+2y+c0垂直，可得2，解可得t1，则B（1，1），故AB中点为（0，1），且其在直线x+2y+c0上，代入直线方程可得，0+2（1）+c0，可得c2；故t+c（1）+（2）3；故选：A6市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具经工商局抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率
13、为，而实体店里的儿童玩具的合格率为现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）ABCD解：工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性为：P故选：B7两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（）A48B50C98D68解：根据题意，分2种情况讨论，每辆车坐3人，有C6320种乘车方式；一辆车坐2人，另一辆坐4人，要求两个小孩不能单独乘坐一辆车，有（C621）A2228种乘车方式；则有20+2848种车方式；
14、故选：A8中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数f（x）满足f（4x）f（x），且当x0，2时的解析式为f（x），则函数yf（x）在x0，4时的图象与直线y1围成封闭图形的面积是（）A2B2log23C4D4log23解：由题意可得，f（x）关于x2对称，而f（x），且f（0）f（4）1，f（2）1，在x0，4，f（x），f（4x）及y1的图象如下：所以将围成的图形在x轴下半部分
15、阴影区域部分相补到x轴上半部分的阴影区域，可得图示：由x轴，y轴，y1，x4所围成的矩形的面积，所以函数yf（x）在x0，4的图象与直线y1围成的封闭图形的面积为4故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得分，部分选对的得2分。9调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示：则下列说法正确的是（）A该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上B该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%C该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生D该高科技行
16、业中从事技术岗位的人员主要是博士解：对于A，由该行业从业者学历分布饼状图得到：该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故A正确；对于B，由从事该行业岗位分布条形图得到：在高科技行业中从事科技岗位的人数超过总人数的30%，故B正确；对于C，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，故C错误；对于D，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，无法得到该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士，故D错误故选：AB10已知f（x）2cos2x+sin2x1（0）的最小正周期为，则下列说法正确的有（）A2B函数f（x
17、）在上为增函数C直线是函数yf（x）图象的一条对称轴D点是函数yf（x）图象的一个对称中心解：cos2x+sin2x2cos（2x） 的最小正周期为，1，f（x）2cos（2x），故A错误在上，2x，0，故 f（x）2cos（2x） 单调递增，故B正确；当x时，f（x）1，不是最值，故直线不是函数yf（x）图象的一条对称轴，故C错误；当x时，f（x）0，故点是函数yf（x）图象的一个对称中心，故D正确，故选：BD11如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别是线段B1D1，AC上的动点，则下列说法正确的有（）A线段PQ长度的最小值为2B满足PQ2的情况只有4种C无论P，
18、Q如何运动，直线PQ都不可能与BD1垂直D三棱锥PABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关解：对于A，当P、Q分别为线段B1D1、AC的中点时，PQ是异面直线B1D1、AC的公垂线，此时线段PQ长度最小为2，故A正确；对于B，PQ2，只能是面对角线，此时PQ可以是AD1，CD1，AB1，CB1四种，故B正确；对于C，当P与B重合，Q与C重合时，此时直线PQ（即B1C）与平面BC1D1垂直，故PQBD1，故C错误；对于D，由于点P到平面ABQ的距离是2，底面QBA的面积随着点Q的移动而变化，三棱锥PABQ的体积只与点Q的位置有关，与点P的位置无关，故D正确故选：ABD12在数学课堂上
19、，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，；第n（nN*）次得到数列1，x1，x2，x3，xk，2；记an1+x1+x2+xk+2，数列an的前n项和为Sn，则（）Ak+12nBan+13an3Can（n2+3n）DSn（3n+1+2n3）解：由a13+3，a23+3+9，a33+3+9+27，a43+3+9+27+81，an3+31+32+33+3n3+，由a1有3项，a2有5项，a3有9项，a5有17项，故an有2n+1项故C错
20、误；所以k+22n+1，即k+12n，故A正确；由an，可得an+13an3，故B正确；由Sna1+a2+an（32+33+34+3n+1）+（3n+1+2n3），故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设向量（1，m），（2，1），且（2+）7，则m1解：向量（1，m），（2，1）m实数，2+（4，2m+1），（2+）7，（2+）8+2m+17，解得m1故答案为：114已知sincos，且（0，），则的值为 解：sincos，（sin+cos）2sin2+2sincos+cos21+2，（0，），sin0，cos0，sin+cos，（sin+cos）故答案为：
21、15任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m5，则经过5次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为37解：当m5时，5168421共5步雹程变成1，若m需经过5步雹程首次变成1则1248165或12481632两种情况，即m5或m32，则5+3237，故答案为：5，3716已知过抛物线y2x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过坐标原点O的直线与双曲线1（a0，b0）交于M，N两点，点P是双曲线上一点，且直线PM，PN的斜
22、率分别为k1，k2，若不等式（|k1|+4|k2|）（|AF|BF|）|AF|+|BF|恒成立，则双曲线的离心率为 解：由（|k1|+4|k2|）（|AF|BF|）|AF|+|BF|恒成立，可得|k1|+4|k2|+，因为y2x，所以F（，0），则设直线AB的方程为xmy+，A（x1，y1），B（x2，y2），令y10，y20，由，得y2my0，则y1+y2m，y1y2，因为|AF|y1|，|BF|y2|，|y1|+|y2|y1y2|，所以+（+）4，所以|k1|+4|k2|4恒成立，因为直线MN过原点，所以M，N关于原点对称，设M（x0，y0），N（x0，y0），P（x3，y3），因为点P在
23、双曲线上，所以1，所以k1k2b2（1）b2（1），所以|k1|+4|k2|24，当且仅当|k1|4|k2|时，取等号，所以44，即ab，所以c2a2+b22a2，即ca，所以离心率为e，故答案为：四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17在平面四边形ABCD中，ABC，ADC，BC4（1）若ABC的面积为3，求AC；（2）若AD3，ACBACD+，求tanACD解：（1）ABC中，ABC，BC4，SABCABBCsinABC3，AB3ABC中，由余弦定理可得：AC2AB2+BC22ABBCcosABC9+1623413，AC；（2）设ACD，则ACBA
24、CD+，RtACD中，AD3，AC，ABC中，BACACBABC，由正弦定理可得：，即，3sin（）2sin，化简可得tan，tanACD18已知an是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）各项均为正数的数列bn的首项b11，其前n项和为Sn，且 _，若数列cn满足cnanbn，求cn的前n项和Tn在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题bn21；2bnbn1+bn+1（n2），b23；SnSn1（n2）解：（1）数列an是递增的等比数列，前3项和为13，且3a1，5a2，3a3成等差数列所以，整理得，所以，
25、解得q3或，由于an是递增的等比数列，所以q3故（2）选条件时，bn21；整理得，当n2时，所以两式相减得：bnbn12（常数），所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，故bn2n1，所以，则，3，得：，整理得：选条件时，2bnbn1+bn+1（n2），b23；所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列故bn2n1，所以，则，3，得：，整理得：选条件时，SnSn1（n2）整理得：（常数），所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；所以，故bnSnSn12n1，所以，则，3，得：，整理得：19如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，点M，N分别是B1C1和A1B1的中点，AA1AB
26、BM2，A1AB60（1）求证：BN平面A1B1C1；（2）求二面角MABC的余弦值【解答】（1）证明：连结MN，A1B，侧面ABB1A1是平行四边形，且A1AB60，所以A1BB1是正三角形，又点N分别是A1B1的中点，所以BNA1B1，又因为AA1ABBM2，所以BN，MN1，所以BN2+MN2BM2，则BNMN，又A1B1MNN，A1B1，MN平面A1B1C1，所以BN平面A1B1C1；（2）解：取AB的中点O，连结A1O，则A1OBN，由（1）可知，A1O平面ABC，COAB，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则O（0，0，0），A（0，1，0），B（0，1，0），所以，设
27、平面MAB的一个法向量为，则，即，令z1，则y0，x2，故，又平面ABC的一个法向量为，所以，故二面角MABC的余弦值为20每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣某高校为了解在校学生的每周阅读时间X（单位：小时），对全校学生进行了问卷调查从中随机抽取了100名学生的数据，统计如表：每周阅读时间X9，11）11，13）13，15）15，17）17，19）19，21）21，23频率0.050.10.150.40.20.060.04（1）根据频率分布表，估计这100名学生每周阅读时间的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）若认为目前该校
28、学生每周的阅读时间X服从正态分布N（，2），用（1）中的平均值近似代替，且P（14X17.76）0.5，若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号学校制定如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡每次获赠的随机购书卡的金额和对应的概率为：购书卡的金额（单位：元）2050概率记Y（单位：元）为甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额，求Y的分布列与数学期望解：（1）由题意可知，100.05+120.1+140.15+160.4+180.2+200.06+220.0415.88；（2）由P（14X17.76）0.5，且正态分布密度曲线关于x15
29、.88对称，所以P（X14）P（X17.76），故P（X14）1P（X14）1，由题意可知，甲为“阅读之星”的概率为，甲获赠购书卡金额Y的可能取值为20，40，50，70，100，所以P（Y20），P（Y40），P（Y50），P（Y70），P（Y100），所以Y的分布列为： Y 20 40 50 70 100 P 所以E（Y）20+40+50+70+10048.12521已知椭圆E：1（ab0）的左、右焦点分别为F1（，0），F2（，0），过点F2的直线l与椭圆交于不同两点M，N当直线l斜率为1时，弦MN的中点坐标为（）（1）求椭圆E的标准方程；（2）求F1MN的内切圆半径r最大时，直线l的方
30、程解：（1）由题知c，设M（x1，y1），N（x2，y2），则有+1，+1，由得+0，因为1时，x1+x2，y1+y2，代入有a24b2，又a2b2+c2，c，所以b21，a24，所以椭圆E的标准方程为+y21（2）F1MN的周长为|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|4a8，S8r4r，所以rS，所以F1MN的内切圆半径r最大，即S最大，设直线l的方程为xmy+，由，得（m2+4）y2+2my10，所以y1+y2，y1y2，则S|F1F2|y1y2|，令t（t1），则m2t21，S2，当且仅当t，即t（t1）时取等号，此时m，直线l的方程为xy022已知函数f（x）exax（aR）（
31、1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a2时，求函数g（x）f（x）cosx在（，+）上的零点个数解：（1）f（x）exax，其定义域为R，f（x）exa，当a0时，因为 f（x）0所以 f（x） 在 R 上单调递增；当a0时，令 f（x）0 得 xlna令 f（x）0 得 xlna所以f（x）在（，lna）上单调递减，（lna，+）上单调递增，综上所述，当 a0 时，f（x） 在 R 上单调递增，当 a0 时，f（x）在（，lna）上单调递减，（lna，+）上单调递增（2）当a2时，g（x）ex+sinx2，当 时，因为 g（x）（ex1）+（sinx1）0，所以 g（x） 在 单调递减所以 g（x）g（0）0，斤以 g（x） 在 上无零点；当时，因为g（x） 单调递增，且 所以存在，使 g（x0）0，当x（0，x0） 时，g（x）0，当 时，g（x）0，所以g（x）在0，x0）上单调递减，在上单调递增，且g（0）0，所以 g（x0）0，又因为，所以，所以g（x） 在 上存在一个零点，所以g（x） 在 上有两个零点当时，所以g（x） 在 上单调递增，因为，所以 g（x） 在 上无零点综上所述，g（x）在 上的零点个数为 2