1、数学2.3 等差数列的前n项和 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.掌握等差数列的前n项和公式,了解推导等差数列前n项和公式的方法倒序相加法.2.能够利用等差数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法.4.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.5.理解an与Sn的关系,会利用这种关系解决有关的问题.课标要求 数学知识梳理 2.等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项、末项和项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn=12nn aa Sn=112n nnad 1.数列an前n项和的定义及表示 一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和,用Sn表示,即Sn=
2、.3.等差数列前n项和的性质 记等差数列an中,其前n项和为Sn,则an中连续的n项之和构成的数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,构成公差为n2d的等差数列.a1+a2+a3+an 数学自我检测 C 1.(等差数列前n项和公式)在等差数列an中,已知a1=2,d=2,则S5等于()(A)10(B)20(C)30(D)40 解析:S5=52+55122=30.数学B 解析:S11=111112aa=48112aa=11 162=88.故选 B.2.(与等差数列性质结合的前n项和的求法)记在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11等于()(A)58(B)
3、88(C)143(D)176 数学D 解析:因为S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),所以4+(S6-20)=2(20-4),所以S6=48.故选D.3.(等差数列前n项和的性质)记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则S6等于()(A)42(B)44(C)46(D)48 数学解析:S3=32(a1+a3)=32(4+a3)=6,所以 a3=0,又 a3=a1+2d=4+2d=0,所以 d=-2.答案:-2 4.(等差数列前n项和公式的应用)等差数列an的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d=.数学解析:因为 a13-a8=
4、5d=10,所以 d=2,a1=a8-7d=-11,所以 S24=24(-11)+12 24232=288.答案:288 5.(等差数列前n项和公式的应用)等差数列an的前n项和为Sn,若a8=3,a13=13,则S24=.数学课堂探究等差数列前n项和的基本运算 题型一 解析:(1)设an的公差为 d,依题意有 a1+3d=7,而 a1=1,所以 d=2.于是 S5=5a1+542d=51+5422=25.【例 1】(1)设 Sn是等差数列an(nN*)的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则S5=.(2)已知an是等差数列,Sn为其前 n 项和,nN*.若 a3=16,S20=20,则 S
5、10的值为 .数学(2)设数列an的首项为 a1,公差为 d,依题意可得11216,20 192020,2adad 即11216,2192,adad解得120,2.ad 因此 S10=10a1+1092d=1020+1092(-2)=110.答案:(1)25(2)110 数学题后反思 a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想
6、的运用.数学即时训练 1 1:(1)等差数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a3=4,S3=9,则 S4等于()(A)14(B)19(C)28(D)60(2)等差数列an中,a3+a5=12,a2=2,则前 6 项和 S6=.解析:(1)设an的首项为 a1,公差为 d,则1124,3239,2adad解得12,1,ad于是 S4=42+4 321=14,故选 A.(2)设an的首项为 a1,公差为 d,则有112612,2,adad解得10,2,ad于是 S6=60+6 522=30.答案:(1)A(2)30 数学【备用例1】已知an是等差数列,Sn为其前n项和,nN*,a3=16,S20
7、=20,若Sn=110,则n=.解析:设an的公差为 d,则 a1+2d=16,20a1+20 192d=20,解得 a1=20,d=-2,所以 20n+12n n(-2)=110,即 n2-21n+110=0,所以 n=10 或 n=11.答案:10或11 数学等差数列前n项和的最值问题 题型二【教师备用】1.等差数列an的前n项和公式一定是关于n的二次函数吗?提示:设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,则 Sn=12nn aa=na1+12n n d=2d n2+（a1-2d）n.当 d=0 时,Sn=na1,不是关于 n 的二次函数,当 d0 时,Sn是关于 n 的二次函数.数学2.
8、设等差数列an的前n项和为Sn则Sn的最值情况与首项a1,公差d的正负性有什么关系?提示:a1与d的正负性Sn的最值情况a10,d0S1是Sn的最小值a10,d0数列前若干正项或0的和是Sn的最大值a10,d0S1是Sn的最大值a10数列前若干负项或0的和是Sn的最小值数学解:法一 因为 S9=S17,a1=25,所以 925+9912d=1725+171712d,解得 d=-2.所以 Sn=25n+12n n(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169.所以当 n=13 时,Sn有最大值 169.法二 因为 S9=S17,所以 a10+a11+a17=0.由等差数列的性质得 a13+a
9、14=0.因为 a10,所以 d0,a140,d0 时,由100mmaa Sm为最大值;当 a10 时,由100mmaa Sm为最小值.(3)寻求正、负项交替点法,即利用等差数列的性质,找到数列中正数项与负数项交替变换的位置,其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项),然后确定Sn的最值.数学解:(1)由 a1=9,a4+a7=0,得 a1+3d+a1+6d=0,解得 d=-2,所以 an=a1+(n-1)d=11-2n.即时训练 2 1:已知等差数列an中,a1=9,a4+a7=0.(1)求数列an的通项公式;(2)当 n 为何值时,数列an的前 n 项和取得最大值?(2)法一
10、a1=9,d=-2,Sn=9n+12n n(-2)=-n2+10n=-(n-5)2+25,所以当 n=5 时,Sn取得最大值.法二 由(1)知 a1=9,d=-20;n6 时,an0.所以当 n=5 时,Sn取得最大值.数学解析:由题意,当且仅当 n=8 时 Sn有最大值,可得890,0,0daa即0,770,780ddd 解得-1d-78.【思维激活】(2014高考江西卷)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为 .答案:（-1,-78）数学解:法一 由 a1=20,S10=S15,解得公差 d=-53.因为 S10=S15,所以
11、 S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0,因为 a11+a15=a12+a14=2a13=0,所以 a13=0.因为公差 d0,所以 a1,a2,a11,a12均为正数,而 a14及以后各项均为负数.所以当 n=12 或 13 时,Sn有最大值为 S12=S13=130.【备用例2】在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.数学法二 Sn=An2+Bn,由题意对应函数 y=Ax2+Bx 的对称轴为 x=10152=12.5,故当 n=12 或 13 时,Sn有最大值.则25,2220,BAAB解得5,
12、6125.6AB 所以 S13=S12=-56122+125612=130 为最大值.数学等差数列前n项和的性质及应用 题型三 解:法一 设an的首项为 a1,公差为 d.11110109100,211001009910,2adad解得 a1=10.99,d=-0.22,故 S110=110a1+12110109d=-110.【例3】已知an为等差数列,前10项的和为S10=100,前100项的和S100=10,求前110项的和S110.数学法二 设an的前 n 项之和 Sn=An2+Bn,则 10010100,1000010010,ABAB解得 A=-11100,B=11110,所以 S11
13、0=12100A+110B=110(110A+B)=-110.法三 因 S100-S10=a11+a12+a100=11100902aa=-90,所以 a1+a110=a1 1+a100=-2.所以 S110=11101102aa=11022=-110.法四 数列 S10,S 20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100 成等差数列,设其公差为 D,前 10 项和 10S10+1092D=S100=10 D=-22,所以 S110-S100=S10+(11-1)D=100+10(-22)=-120.所以 S110=-120+S100=-110.数学题后反思 (1)求数列的
14、前n项和有着不同的途径,特别是运用一些等差数列的性质和等差数列前n项和的性质使问题解决变得很简单.(2)等差数列的前 n 项和 Sn的主要性质 Sn=12nn aa=12mn mn aa.项的个数的“奇偶”性质:等差数列an中,公差为 d.a.若共有 2n 项,则 S2n=n(an+an+1);S 偶-S 奇=nd;S 偶S 奇=an+1an.b.若共有 2n+1 项,则 S2n+1=(2n+1)an+1;S 偶-S 奇=-1na ;S 偶S 奇=n(n+1).和的比值与项的比值间的性质:设 Sn,Sn分别为等差数列an,bn的前 n 项和,则 anbn=S2n-1S2n-1.“片断和”性质:
15、等差数列an中,公差为 d,前 k 项的和为 Sk,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,Smk-S(m-1)k,构成公差为 k2d 的等差数列.数学即时训练 3 1:等差数列an的前m 项和为 30,前2m项和为 100,求它的前 3m项和.解:法一 设等差数列an的公差为 d,则121130,22212100,2mmm mSmadmmSmad-得 ma1+232mmd=70,所以 S3m=3ma1+3312mm d=3（ma1+232mmd）=370=210.法二 因为数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,所以 2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,所以 S3m=3(S2
16、m-Sm)=3(100-30)=210.数学【备用例 3】有两个等差数列an,bn满足123123nnaaaabbbb=723nn,求55ab.解:法一 设等差数列an、bn公差分别为 d1、d2,则123123nnaaaabbbb=11121212n nnadn nnbd=11121212nadnbd,则有11121212nadnbd=723nn,又由于55ab=111244adbd,观察、,可在中取 n=9,得111244adbd=79293=6512.故55ab=6512.数学法二 设an、bn前 n 项和分别为 An、Bn,则有nnAB=723nn,其中 An=12naan.由于 a1
17、+a9=2a5,即192aa=a5,故 A9=1992aa=a59.同理 B9=b59.故99AB=5599ab.故55ab=99AB=79293=6512.数学an与Sn的关系及其应用 题型四 解:根据 Sn=a1+a2+an-1+an与 Sn-1=a1+a2+an-1(n1),可知,当 n1 时,an=Sn-Sn-1=n2+12n-(n-1)2+12(n-1)=2n-12.(*)当 n=1 时,a1=S1=12+121=32,也满足(*)式.所以数列an的通项公式为 an=2n-12.由此可见,数列an是以 32为首项,公差为 2 的等差数列.【例 4】已知数列an的前 n 项和为 Sn=
18、n2+12n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?数学题后反思 已知an与Sn的关系,求an的步骤:(1)当n2时,用an=Sn-Sn-1计算得到an;(2)当n=1时,用a1=S1计算得到a1的值;(3)检验(2)中a1的值是否满足(1)中得到的an,若满足,则通项公式就是an;若不满足,则用分段的形式表示.数学解:因为 lg(Sn+1)=n+1,所以 Sn+1=10n+1.即 Sn=10n+1-1.当 n=1 时,a1=S1=102-1=99,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=910n,从而,数列an的通项公式为 an=99,1,9 10,2.nnn 即时训练 4 1:已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 lg(Sn+1)=n+1,求通项公式.数学解:当 n=1 时,a1=S1=3;n2 时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=23n-1.当 n=1 时代入 an=23n-1 得 a1=23.所以 an=13,1,2 3,2.nnn 【备用例 4】已知数列an的前 n 项和 Sn=3n,求 an.数学点击进入课时作业点击进入周练卷数学 谢谢观赏Thanks!
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