1、专题一 融会贯通领悟四种数学思想 第1讲 函数与方程、数形结合思想一 函数与方程思想函数思想方程思想函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析、转化问题，从而使问题得到解决的思想方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想函数与方程思想在一定条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系应用1 求解函数零点、不等式问题【例1】(1)已知f(x)log2x，x2，16，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2mx42m4x恒成立的
2、实数x的取值范围为()A(，2 B2，)C(，22，)D(，2)(2，)(2)直线ya分别与曲线y2(x1)，yxln x交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A3 B2 C.3 24 D.32解析：(1)因为x2，16，所以f(x)log2x1，4当m1，4，不等式x2mx42m4x恒成立，即为m(x2)(x2)20恒成立设g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在1，4上恒大于0，所以g（1）0，g（4）0，即x2（x2）20，4（x2）（x2）20，解得x2或x2.(2)当ya时，2(x1)a，所以xa21.设方程xln xa的根为t(t0)，则tln ta，则|AB|ta21 ttln
3、 t21 t2ln t2 1.设g(t)t2ln t2 1(t0)，则g(t)1212tt12t，令g(t)0，得t1，当t(0，1)时，g(t)0；当t(1，)时，g(t)0，所以g(t)ming(1)32，所以|AB|32，所以|AB|的最小值为32.答案：(1)D(2)D探究提高1在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化2函数方程思想求解方程的根或曲线交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化
4、为函数零点问题(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决变式训练(1)知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数a满足f(2|a1|)f(2)，则a的取值范围是_(2)设函数f(x)x2cos x，则方程f(x)4所有实根的和为()A0 B.4 C.2 D.32解析：(1)由f(x)是偶函数且f(x)在区间(，0)上单调递增可知，f(x)在区间(0，)上单调递减又因为f(2|a1|)f(2)，f(2)f(2)，所以2|a1|2，即|a1|12，解得12a32.(2)由f(x)x2cos x4，得x24cos x.令yx24，ycos x.在同一坐标系
5、内作出两函数图象(图略)，易知两图象只有一个交点2，0.所以方程f(x)4的实根之和为2.答案：(1)12，32 (2)C应用2 函数与方程思想在数列中的应用【例2】设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S50，S63.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)求nSn的最小值解：(1)因为S42，S50，S63，所以a5S5S42，a6S6S53.又an是等差数列，则公差da6a51.由于S55（a1a5）20，所以a12.故Sn2nn（n1）2n25n2.(2)由(1)知nSnn35n22(nN*)，令f(x)x35x22(x0)，则f(x)32x25x(x0)令f(x)0，得x103；令
6、f(x)0，得0 x103.所以f(x)在103，上递增，在0，103 上递减又f(3)9，f(4)8.所以当n3时，nSn取到最小值9.探究提高1本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用数列前n项和公式求nSn，构造函数，运用单调性求最值2数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，但一定注意数列问题中的nN*，涉及的函数具有离散性的特点变式训练(2019惠州一中检测)设等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，a1a24，a3a26.(1)求数列an的通项公式；(2)若对任意nN*，kan，Sn，1成等差数列，求实数k的取值解：(1)
7、因为a1a24，a3a26，所以a1（1q）4，a1（q2q）6.因为q0，所以q3，a11，所以an13n13n1.数列an的通项公式为an3n1.(2)由(1)知an3n1，Sn1（13n）133n12.因为kan，Sn，1成等差数列，所以2Snkan1，则23n12k3n11，解得k3.应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点(1)若ED 6DF，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值解：(1)依题意得椭圆的方程为 x24 y21，直线AB，EF的方程分
8、别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24.故x2x1214k2.由ED 6DF 知x0 x16(x2x0)，即x017(6x2x1)57x2107 14k2.由D在AB上知x02kx02，得x0212k，所以212k107 14k2，化简得24k225k60，解得k23或k38.(2)根据点到直线的距离公式和式知，点E，F到AB的距离分别为h1|x12kx12|52（12k 14k2）5（14k2），h2|x22kx22|52（12k 14k2）5（14k2）.又|AB|2212 5，所
9、以四边形AEBF的面积为S12|AB|(h1h2)12 5 4（12k）5（14k2）2（12k）14k2 214k24k14k22141k4k2 2，当且仅当4k21(k0)，即当k12时，上式取等号所以S的最大值为2 2.即四边形AEBF面积的最大值为2 2.探究提高1几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值问题的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)的基本方法2在解析几何中，涉及参数的取值，也常构造方程，将条件列成未知量的方程，利用方程思想
10、求解某些几何问题是一个极富创造力的一个方面变式训练(2018全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1，0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x22k24k2.由M(1，1)，得 AM(1x1，1y1)，BM(1x2，1y2)由AMB90，得AM BM 0，所以(x11)(x21)(y11)(y21)0，所以x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x1
11、1)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，所以12k24k21k2(12k24k21)k(2k24k22)10，整理得 4k24k10，解得k2.答案：2二 数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段、数作为目的解决问题的数学思想借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段、形作为目的的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合应用
12、1 数形结合思想在函数与方程中的应用【例1】(1)记实数x1，x2，xn中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，)上的函数f(x)minx21，x3，13x的最大值为()A5 B6 C8 D10(2)已知函数f(x)12（x2x），x0，log5x，x0，函数g(x)是周期为2的偶函数，且当x0，1时，g(x)2x1，则函数yf(x)g(x)的零点个数是()A5 B6 C7 D8解析：(1)在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x 的图象如图所示由图可知，在实数集 R 上，minx21，x3，13x为 yx3 上 A 点下方的射线，抛物线 AB 之间的部分，线段 BC，与
13、直线 y13x 点 C 下方的部分的组合图，显然，在区间0，)上，在 C 点时，yminx21，x3，13x取得最大值解方程组yx3，y13x，得点 C(5，8)所以 f(x)max8.(2)在同一坐标系中作出 yf(x)和 yg(x)的图象如图所示，由图象可知当 x0 时，有 4 个零点，当 x0 时，有2 个零点，所以一共有 6 个零点答案：(1)C(2)B探究提高1第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解2探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨
14、论两曲线的交点问题；(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合变式训练 已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A1，0)B0，)C1，)D1，)解：因为 g(x)f(x)xa 存在 2 个零点，则 yf(x)与 yxa 有两个交点，图象如下：要使得 yxa 与 f(x)有两个交点，则有a1，即 a1.答案：C应用 2 数形结合求解不等式与平面向量问题【例 2】(1)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)(bc)0，则|c|的最
15、大值是()A1 B2 C.2 D.22(2)(2019 浙 江 卷)若 实 数 x，y 满 足 约 束 条 件x3y40，3xy40，xy0，则 z3x2y 的最大值是()A1 B1 C10 D12解：(1)因为(ac)(bc)0，所以(ac)(bc)如图所示，设OC c，OA a，OB b，CA ac，CB bc，即AC BC.又因为OA OB，所以 O，A，C，B 四点共圆当且仅当 OC 为圆的直径时，|c|最大，且最大值为 2.(2)如图，不等式组表示的平面区域是以A(1，1)，B(1，1)，C(2，2)为顶点的ABC 区域(包含边界)作出直线 y32x 并平移，当直线 y32xz2过点
16、C(2，2)时，直线在 y 轴上的截距最大所以 zmax322210.答案：(1)C(2)C变式训练(1)(2017全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P为平面 ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值是()A2 B32C43D1(2)(2019全 国 卷 )若 变量 x，y 满 足 约 束 条 件2x3y60，xy30，y20，则 z3xy 的最大值是_解析：(1)取 BC 的中点 O，以 BC 为 x 轴，BC 的垂直平分线 AO 为 y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(0，3)，B(1，0)，C(1，0)，设 P(x，y)所以PA(x，3y)，PB(1
17、x，y)，PC(1x，y)，所以PBPC(2x，2y)，则PA(PB PC)2x22y22 3y2x22y 3223232.所以PA(PBPC)的最小值为32.(2)作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线 y3xz 过点 C 时，z 最小，即 z 最大由xy30，2x3y60，解得x3，y0，则点 C 的坐标为(3，0)所以 zmax3309.答案：(1)B(2)9应用 3 圆锥曲线中的数形结合思想【例 3】(1)已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为()A7 B6 C5 D
18、4(2)已知抛物线的方程为 x28y，F 是其焦点，点 A(2，4)，在此抛物线上求一点 P，使APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_解析：(1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r1，且|AB|2m，因为APB90，连接 OP，易知|OP|12|AB|m.若求 m 的最大值，也就是求圆 C 上的点 P 到原点 O的最大距离又|OC|32425，所以|OP|max|OC|r6，即 m 的最大值为 6.(2)因为(2)284，所以点 A(2，4)在抛物线 x28y 的内部，如图，设抛物线的准线为 l，过点 P 作 PQl 于点 Q，过点 A 作 ABl 于
19、点 B，连接 AQ，则APF 的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当 P，B，A 三点共线时，APF 的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为 A(2，4)，所以不妨设APF 的周长最小时，点 P 的坐标为(2，y0)，代入 x28y，得 y012，故使APF 的周长最小的点 P 的坐标为2，12.答案：(1)B(2)2，12探究提高1对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解2应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值可考虑直线的斜率；(2)二元一次式可考虑直线的截距；(3)根式可考虑两点间的距离或两点间距离变式训练 设 A，B 在圆 x2y21 上运动，且|AB|3，点 P 在直线 l：3x4y120 上运动，则|PAPB|的最小值为()A3 B4 C.175 D.195解析：设 AB 的中点为 D，则PAPB2PD，所以当且仅当 O，D，P 三点共线时，|PAPB|取得最小值，此时 OPAB，且 OPl.因为圆心到直线的距离为 OP12916125，OD13412，所以|PAPB|的最小值为 2125 12 195.答案：D