1、第1讲 数列的概念 知 识 梳理 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即. 3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，其中是数列的递推公式.4.数列的前项和与通项的公式； .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任
2、何,均有.递减数列:对于任何,均有.摆动数列:例如: 常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数使.无界数列:对于任何正数,总有项使得. 重 难 点 突 破 1.重点：理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法.2.难点：用函数的观点理解数列.3.重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法.求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质.问题1：已知是数列的前项和，则此数列是( )A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定.解析：，两式相减，得，当时，
3、选C.问题2：数列中，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )A. B. C. D. 分析：由已知条件判定数列单调性，注意的取值范围.解析：， 时，递减；时，递减.结合图象，选C. 热 点 考 点 题 型 探 析考点1 数列的通项公式题型1 已知数列的前几项，求通项公式【例1】求下列数列的一个通项公式：【解题思路】写出数列的通项公式，应注意观察数列中和的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.【解析】联想数列即数列，可得数列的通项公式；将原数列改写为分母分别为分子分别为呈周期性变化，
4、可以用，或，或表示.（或，或）分子为正偶数列，分母为得 观察数列可知：本题也可以利用关系式求解. 【名师指引】联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.题型2 已知数列的前项和，求通项公式【例2】已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.； .【解题思路】利用，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】当时，当时，.当时，.当时，当时，.当时，.【名师指引】任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：若适合，则把它
5、们统一起来，否则就用分段函数表示.题型3 已知数列的递推式，求通项公式【例3】数列中，求，并归纳出.【解题思路】已知的递推公式求前几项，可逐步计算.【解析】，由，可以归纳出.【名师指引】由递推公式求通项，可以考虑“归纳猜想证明”的方法，也可以构造新数列.【新题导练】1.已知有穷数列：，其中后一项比前一项大2.求此数列的通项公式；是否为此数列的项？【解析】设数列的第项为，则令，故该数列的通项公式 令，解得， 不是有穷数列的项.2.数列中，求的值.【解析】由，得当时，；当时，两式相除，得.，.3.数列中，求，并归纳出.【解析】，由，可以归纳出考点2 与数列的通项公式有关的综合问题题型1 已知数列通
6、项公式，求项数及最大（最小）项【例4】数列中，.是数列中的第几项？为何值时，有最小值？并求最小值.【解题思路】数列的通项与之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.【解析】由，解得， 是数列中的第项.， 或时，.【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域为正整数.题型2 已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性 【例5】数列中，.求数列的最小项；判断数列是否有界，并说明理由.【解题思路】转化为判断数列的单调性，即证，或；从“数列的有界性”定义入手.【解析】 ，数列是递增数列，数列的最小项为.，数列有界.【名师指引】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数
7、列.【新题导练】4.数列中，求取最小值时的值.【解析】，时，取最小值.5.数列中，求数列的最大项和最小项.【解析】，又，数列是递增数列数列的最小项为，没有最大项. 抢 分 频 道 基础巩固训练1.设数列，则是这个数列的（ ）A第9项 B第10项 C第11项 D第12项【解析】C，选C2.(2008年华师附中)数列的前项和为，且，则数列的首项为（ ） A或 B C D或【解析】D中令，得，或3.(2009恩城中学)已知定义在正整数集上的函数满足条件：，,则的值为（ ） A2 B 2 C4 D4【解析】B利用数列的周期性，周期为4，4.数列中数值最大的项是第 项.【解析】35.(2009恩城中学文)观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，则可得出一般结论 .【解析】6.数列中，则的值是（ ） A B C D【解析】C利用数列的周期性，除前4项后，周期为6，综合拔高训练7.(2009恩城中学节选)已知数列的首项，其前项和求数列 的通项公式【解析】由， ，得：，即， ，8.设数列的第项是二次函数，求.【解析】设，由，.9.数列中，.求这个数列的第10项；是否为该数列的项，为什么？求证：； 在区间内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由.【解析】，；令，无整数解，不是该数列的项.，由，得，当且仅当时，在区间内有数列的项.