1、第七章 第七节 立体几何体中的向量方法(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1(2011杭州模拟)若平面、的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3,1，4)则()A BC、相交但不垂直 D以上均不正确解析：因为cosn1n20且cosn1，n21，所以、相交但不垂直答案：C2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60C120 D150解析：因为cosm，n，所以l与所成角，满足sin|cosm，n|，又 0，所以30.答案：A3在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂
2、直于()AAC BBDCA1D DA1A解析：如图所示，易证BD平面AA1C1C，又CE平面ACC1A1，BDCE.答案：B4(2011厦门模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B.C. D.解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：B5如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45 B60C90 D12
3、0解析：以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则B(0,0,0)，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，(0，1,1)，(2,0,2)cos，.EF与BC1所成角为60.答案：B6如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0), C
4、(0,1,0)，E(，0，)，F(，0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(，)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7(2011南通模拟)设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,3,1)垂直，则平面与的位置关系是_解析：由题知a，b分别平面，的法向量，又ab(1)223(4)10，ab，.答案：垂直8已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为_解析：由题知：，.所以：即：解得：x，y，z4.答案：，49正四棱锥S
5、ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0) (a，)，(a，a,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：30三、解答题10如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小解：如图，以D为原点，DA为单位
6、长建立空间直角坐标系Dxyz.则(1,0,0)，(0,0,1)连结BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以(，1)(1)因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为30.11如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)若二面角B1DCC1的大小为60，求AD的长解：(1)证明：如图，以C为坐标原点，CA、CB、C
7、C1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)即(0,2,0)，(1,0,1)，(1,0,1)，由(1,0,1)(0,2,0)0，得CDC1B1.由(1,0,1)(1,0,1)0，得CDDC1.又DC1C1B1C1，CD平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.(2)设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)则，令z1，得m(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60，得
8、，即a，故AD.12(2010海口模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知BC1，BB12，AB平面BB1C1C.(1)求直线C1B与底面ABC所成角的正切值；(2)在棱CC1(不包括端点C、C1)上确定一点E的位置，使EAEB1(要求说明理由)；(3)在(2)的条件下，若AB，求二面角AEB1A1的大小解：以B为坐标原点，BC、BB1、AB所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C1(1,2,0)，B1(0,2,0)(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC的一个法向量为(0,2,0)，又(1,2,0)，设BC1与平面ABC所成的角为，则sin|cos，|，tan2，即直线C1B与底面ABC所成角的正切值为2.(2)设E(1，y,0)，A(0,0，z)，则(1,2y,0)，(1，y，z)，EAEB1，1y(2y)0，y1，即E(1,1,0)，E为CC1的中点(3)由题知A(0,0，)，则(1,1，)，(1，1，0)，设平面AEB1的一个法向量为n(x1，y1，z1)，则令x11，则n(1,1，)(1,1,0)，110.BEB1E.又BEA1B1，BE平面A1B1E.平面A1B1E的一个法向量为BE(1,1,0)cosn，.二面角AEB1A1的大小为45.