1、数学第二课时 数列求和习题课 数学自主预习课堂探究数学自主预习1.通过具体实例,理解并掌握数列的分组求和法.2.通过具体实例,理解并掌握数列的裂项求和法.3.通过具体实例,理解并掌握数列求和的错位相减法.课标要求 数学知识梳理 1.公式法求和(1)等差数列的前 n 项和公式 Sn=12nn aa=112n nnad；(2)等比数列前 n 项和公式 Sn=11111,1.naqqna qq 数学2.分组法求和 有些数列,通过适当分组,可把它拆分成等差数列和等比数列求和.3.裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.4.错位相减法求和 如果一个数列的
2、各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比,然后错位相减,使其转化为等比数列的求和问题.数学自我检测 B 1.(裂项相消法求和)数列an的前 n 项和为 Sn,若 an=11n n,则 S5 等于()(A)1 (B)56 (C)16 (D)130 解析:an=11n n=1n-11n,S5=11-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=56.故选 B.数学B 解析:因为 an=2n+n,所以 Sn=(2+22+2n)+(1+2+n)=2n+1-2+12n n.所以 S6=27-2+672=147.故选 B.2.(分组法
3、求和)已知数列an的通项公式为an=2n+n,前n项和为Sn,则S6等于()(A)282(B)147(C)45(D)70 数学解析:因为 an=11nn=1n-n,又 a1+a2+an=-(1-2+2-2+n-1n)=1n-1=9,所以 n=99.3.(裂项相消法求和)数列an的通项公式是 an=11nn,其前 n 项和为 9,则 n 等于()(A)9 (B)99 (C)10(D)100 B 数学解:当 a=1 时,Sn=1+3+5+(2n-1)=n2.当 a1 时,Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1,则 aSn=a+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an,-
4、得(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an=1+1211naaa-(2n-1)an.所以 Sn=1211nnaa+221naaa.4.(错位相减法)求数列 1,3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1(a0)的前 n 项和.数学课堂探究分组求和 题型一 解:当 x1 时,Sn=(x+1x)2+(x2+21x)2+(xn+1nx)2=(x2+2+21x)+(x4+2+41x)+(x2n+2+21nx)=(x2+x4+x2n)+2n+（21x+41x+21nx）=22211nxxx+22211nxxx+2n=22222111nnnxxxx+2n;当 x=1 时,Sn
5、=4n,综上得,Sn=222224,1,112,1.1nnnn xxxn xxx 【例 1】求和:Sn=（x+1x）2+(x2+21x)2+(xn+1nx)2.数学题后反思 某些数列,通过适当分组,可把它拆分成两个或两个以上的等差数列或等比数列求和问题,那么我们可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,进而得出原数列的和.数学即时训练 1 1:已知数列cn:1 12,2 14,3 18,试求cn的前 n 项和.解:令cn的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1 12+2 14+3 18+n+(12)n=(1+2+3+n)+12+14+18+(12)n =12n n+11122112n=12n n
6、+1-(12)n.即数列cn的前 n 项和 Sn=22nn+1-(12)n.数学解:当 a=1 时,则 an=n,于是 Sn=1+2+3+n=12n n.当 a1 时,an=11naa=11a(1-an).所以 Sn=11an-(a+a2+an)=11an-11naaa=1na-211naaa.综上得 Sn=211,211.11nn naaanaaa 【备用例1】求数列1,1+a,1+a+a2,1+a+a2+an-1,的前n项和Sn(其中a0).数学裂项求和 题型二 解:(1)设数列an的公比为 q,则由23a=9a2a6=924a,所以 q2=19 因为 q0,所以 q=13.由 2a1+3
7、a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1=13.故数列an的通项公式为 an=13n.【例 2】等比数列an的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,23a=9a2a6.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列 1nb 的前 n 项和 Tn.数学(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-12n n.故 1nb=-21n n=-2(1n-11n),所以 Tn=11b+21b+1nb=-2(1-12)+(12-13)+（1n-11n）=-21nn.数学题后反思 对于通项公式是分式的一类数列,在求和时常用“裂项法
8、”.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项,常见的拆项公式有:(1)1n nk=1k(1n-1nk);(2)若an为等差数列,公差为 d,则11nnaa=1d(1na-11na);(3)11nn=1n-n 等.数学解:因为 an=112n=21n n=2(1n-11n),所以 Sn=2(1-12+12-13+1n-11n)=21nn.即时训练 2 1:求和:1+112+1123+1123n.数学解:(1)设an的公差为 d,则 Sn=na1+12n n d.由已知可得11330,5105.adad 解得 a1=1,d=-1.故an的通项公式为 an
9、=2-n.【思维激活】(2013 高考新课标全国卷)已知等差数列an的前 n 项和 Sn满足 S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列21211nnaa的前 n 项和.数学(2)由(1)知21211nnaa=13212nn=12(123n-121n),从而数列21211nnaa的前 n 项和为 12(11-11+11-13+123n-121n)=12nn.数学解:数列的通项 an=221111nn=22222nnnn=1+222nn=1+(1n-12n),所以 Sn=(1+11-13)+(1+12-14)+(1+13-15)+（1+11n-11n）+（1+1n-12n）=n+
10、1+12-11n-12n=n-11n-12n+32.【备用例 2】求数列222121,223131,224141,221111nn的前 n 项和 Sn.数学错位相减法求和 题型三 解:(1)当 n=1 时,a1=S1=3+k;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+k)-(3n-1+k)=23n-1.因为数列an是等比数列,所以21aa=3,即 2 33k=3,解得 k=-1.所以 an=23n-1.【例 3】已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=3n+k(k 为常数,nN*).(1)求 k 的值及数列an的通项公式;(2)若数列an满足12na =24nnbk,求数列bn
11、的前 n 项和 Tn.数学(2)将 k=-1 及 an+1=23n,代入12na =24nnbk,得 bn=2nn,Tn=112+222+332+2nn,12Tn=212+322+432+12nn +12nn,-得 12Tn=12+212+312+412+12n-12nn=1-12n-12nn,所以 Tn=2-112n-2nn=2-22nn.数学解:分 x=1 和 x1 两种情况.当 x=1 时,Sn=1+2+3+n=12n n.当 x1 时,Sn=x+2x2+3x3+nxn,xSn=x2+2x3+3x4+(n-1)xn+nxn+1,所以(1-x)Sn=x+x2+x3+xn-nxn+1=11n
12、xxx-nxx+1.所以 Sn=211nxxx-11nnxx.综上可得 Sn=1211,2110.11nnn nxxxnxxxxx且 即时训练3-1:求和:Sn=x+2x2+3x3+nxn(x0).数学解:(1)当 n=1 时,a1=S1=1;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=22nn-2112nn=n.故数列an的通项公式为 an=n.【思维激活】(2014 高考湖南卷)已知数列an的前 n 项和 Sn=22nn,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn=2 na+(-1)nan,求数列bn的前 2n 项和.数学(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列bn的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).记 A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,则 A=22 1212n=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1+n-2.数学点击进入课时作业点击进入周练卷数学 谢谢观赏Thanks!
