1、20212022学年高三年级期末试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)20221一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合Ax|x23x20，Bx|ln x20，则AB()A. B. 1 C. 2 D. 1，22. 已知a，b是平面内两个向量，且a0，则“b0”是“|a|ab|”的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 函数f(x)sin 2xtan x的最小正周期是()A. B. C. D. 24. 已知随机变量XB(6，p)，YN(，2)，且P(Y2)，E
2、(X)E(Y)，则p()A. B. C. D. 5. 已知点A(，2)，B(1，3)是圆C：x2y210上两点，动点P从A出发，沿着圆周按逆时针方向走到B，其路径长度的最小值为()A. B. C. D. 6. 已知(1x)2 021a0a1xa2 021x2 021，则系数a0，a1，a2 021中最小的是()A. a0 B. a1 010 C. a1 011 D. a2 0217. 小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a元的家电，在购买一个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款)，月利率为r.按复利计
3、算，则小李每个月应还()A. 元 B. 元C. 元 D. 元8. 已知函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，且当x0时，f(x)sin xf(x)cos x0，则下列说法正确的是()A. f()f()f() B. f()f()f()C. f()f()f() D. f()f()f()二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为()A. AA B. AAC. A(A)2
4、D. CAC(A)210. 已知数列an中，a12，an1，使an的n可以是()A. 2 019 B. 2 021 C. 2 022 D. 2 02311. 已知函数f(x)ln (x)sin xcos x，下列说法正确的有()A. 函数f(x)是周期函数 B. 函数f(x)有唯一零点C. 函数f(x)有无数个极值点 D. 函数f(x)在(，)上不是单调函数12. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3a，点M是棱BC上的定点，且BM2CM.点P是棱C1D1上的动点，则下列说法正确的是()A. 当PC1a时，PAM是直角三角形B. 四棱锥A1PAM的体积最小值为a3C. 存在点P，使得直
5、线BD1平面PAMD. 对任意点P，都有直线BB1平面PAM三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知复数z满足等式0，i是虚数单位，则z的模|z|_14. 已知为第四象限角，且tan ()，则sin _15. 已知定义域都是R的两个不同的函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，且g(x)f(x).写出一个符合条件的函数f(x)的解析式：f(x)_16. 已知抛物线C1：y22px的焦点与双曲线C2：y21(a0)的右焦点F重合，抛物线C1的准线与双曲线C2的渐近线交于点A，B.若FAB是直角三角形，则p_，双曲线C2的离心率e_四、 解答题：本题共6小题，共70分解答时
6、应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)某型号机床的使用年数x和维护费y有下表所示的统计资料：x/年23456y/万年2.03.56.06.57.0参考公式和数据：在线性回归方程yabx中，b，aybx，其中x，y为样本平均值(1) 求x，y的线性回归方程；(2) 某厂该型号的一台机床已经使用了8年，现决定当维护费达到15万元时，更换机床，请估计到第11年结束，是否需要更换机床？18. (本小题满分12分)已知数列an的前n项和Sn(nN*).(1) 求数列an的通项公式an；(2) 求数列的前n项和Tn.19.(本小题满分12分)已知在四边形ABCD中，AB7，B
7、C13，CDAD，且cos B，BAD2BCD.(1) 求BCA；(2) 求AD.20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥BPACQ中，BC平面PAB，且在四边形PACQ中，PQAC，PAC，二面角BAPQ的大小为，且APABPQ1.(1) 求证：平面PACQ平面ABC；(2) 求直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值21.(本小题满分12分)已知函数f(x)axxa(x0)，其中a1.(1) 若曲线yf(x)在x1处的切线平行于x轴，求a的值；(2) 当ae(e为自然对数的底数)时，求函数f(x)的零点个数，并说明理由22. (本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点坐标为F(2，
8、0)，离心率e.点A是椭圆上位于x轴上方的一点，点B(1，0)，直线AF，AB分别交椭圆于异于A的点M，N.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线MN平行于x轴，求点A的横坐标20212022学年高三年级期末试卷(常州)数学参考答案及评分标准1. D2. A3. B4. B5. C6. C7. A8. D9. ACD10. AD11. CD12. AB13. 14. 15. ex(答案不唯一)16. 17. 解：(1) x4，y5.0，x223242526290，xiyi22.033.546.056.567.0113.0.(4分)b1.3，aybx5.01.340.2，所以x，y的线性回归
9、方程是y1.3x0.2.(7分)(2) 当x11时，y1.3110.214.115，所以，估计到第11年底，不需要更换机床(10分)18. 解：(1) 当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn1n1.所以an(5分)(2) 当n2时，(7分)Tn()().(10分)当n1时，T1也符合综上可得，Tn.(12分)19. 解：(1) 在ABC中，AB7，BC13，cos B，由余弦定理，得AC8，所以cosBCA.(3分)因为ABC中，0BCA，所以BCA.(5分)(2) 因为CDAD，所以ACDCAD.设ACDCAD，因为BAD2BCD，所以BAC2(BCA)，则BAC2BCA(BBCA)2
10、BCAB.(7分)在ACD中，由正弦定理，得，所以AD.因为cos B，且0B，所以cos cos (B)sin B，所以AD7.(12分)20. (1) 证明：因为BC平面PAB，PA，AB平面PAB，所以ABBC，PABC.因为PAC，所以PAAC.又BCACC，BC，AC平面ABC，所以PA平面ABC.因为PA平面PACQ，所以平面PACQ平面ABC.(5分)(2) 解：由(1)知，PA平面ABC，从而PAAB，PAAC，所以BAC为二面角BAPQ的平面角，因为二面角BAPQ的大小为，所以BAC.(7分)(解法1)如图在ABC中，过点B作AC的垂线BD，垂足为D，连DQ.因为平面PACQ
11、平面ABC，平面PACQ平面ABCAC，BDAC，BD平面ABC，所以BD平面PACQ，所以BDQD，且直线BQ与平面PACQ所成角的平面角为BQD.在ABC中，ABBC，BAC，AB1，BD为边AC上的高，所以BD，AD.在梯形PADQ中，PQAD，PAC，APPQ1，AD，所以QD.在BQD中，sinBQD，所以直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值为.(12分)图图(解法2)在平面ABC内，过点A作AC的垂线AD，以，为正交基底建立如图，所示的空间直角坐标系Axyz，则点B(，0)，Q(0，1，1)，从而(，1).因为平面PACQ的一个法向量为n(1，0，0)，设直线BQ与平面PACQ所成
12、的角为，则sin |cos ，n|，所以直线BQ与平面PACQ所成角的正弦值为.(12分)21. 解：(1) f(x)axxa，f(x)ax ln aaxa1，因为曲线yf(x)在x1处的切线平行于x轴，所以f(1)a ln aa0，解得ae.(3分)(2) 当x0时，axxa00，令h(x)，h(a)0.(4分)h(x)，令h(x)0，得xe.列表如下：x(0，e)e(e，)g(x)0g(x)增极大值减当xe时，h(x)的极大值为h(e).(7分) 当ae时，函数h(x)有且只有1个零点ae.此时，函数f(x)有且只有1个零点(8分) 当ae时，函数h(x)在(e，)内有且只有1个零点a，且
13、h(e)h(a)0；因为0e，h()a ln a0，又函数h(x)在区间(0，e)上单调递增，且函数h(x)的图象在区间(0，e)上是连续不间断的曲线，所以h(x)在区间(0，e)内有且只有1个零点此时，函数f(x)有且只有2个零点(11分)综上可得，当ae时，函数f(x)有且只有1个零点；当ae时，函数h(x)有且只有2个零点(12分)22. 解：(1) 因为椭圆C：1(ab0)的左焦点坐标为F(2，0)，离心率e，所以c2，所以a4，所以b2a2c2422212，所以椭圆C的标准方程为1.(3分)(2) 设A(x0，y0)，y00， 若直线AF的斜率不存在，则x02，所以y03，且M(2，3)，因为直线MN平行于x轴，由椭圆对称性可得N(2，3)，此时kAB1，kNB3，不符合题意，舍去；(4分) 若直线AF的斜率存在，此时kAF，直线AF的方程为y(x2)，联立直线AF的方程与椭圆C的方程，有所以3x2(x2)2480，则3x2480，所以xM，yM(2).(8分)因为直线MN平行于x轴，由椭圆对称性可得N(，)，(9分)又点N在直线AB上，所以，即.因为y00，所以，解得x0，所以点A的横坐标为.(12分)11