1、第2讲基本初等函数、函数与方程(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析基本初等函数作为高考的命题热点，多单独或与不等式综合考查，常以选择题、填空题的形式出现有时难度较大，函数的应用问题集中体现在函数零点个数的判断，零点所在区间等方面近几年全国卷考查较少，要引起重视真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷12函数与方程的综合应用5卷11对数式的大小的判断问题5卷4指数与对数互化52019卷3比较指数幂与对数值的大小5卷6、14指数函数、对数函数、幂函数的性质；指数、对数的运算10卷11指数值与对数值的大小比较与函数性质的综合应用52018
2、卷9分段函数的零点问题5卷卷12对数式的大小比较问题5(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷8指对式的运算的问题5卷4、12函数模型及其应用，对数式的大小的判断问题10卷4对数的运算，指数与对数的互化52019卷3指数式与对数式的大小比较5卷无卷5函数的零点与三角恒等变换52018卷13由对数值求参数5卷无卷7对数函数图象对称问题5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一基本初等函数的图象与性质指数函数与对数函数的图象与性质指数函数yax(a0且a1)对数函数ylogax(a0且a1)图象单调性0a1时，在R上单调递减；a1时，在R上单调递增0a1时
3、，在(0，)上单调递减；a1时，在(0，)上单调递增函数值0a1，当x0时，0y1；当x0时，y10a1，当x1时，y0；当0x1时，y0a1，当x0时，y1；当x0时，0y1a1，当x1时，y0；当0x1时，y0典例1(1)(2020北京昌平区期末)已知函数f(x)的图象与函数y2x的图象关于x轴对称，则f(x)(A)A2xB2xClog2xDlog2x(2)(2020辽宁省沈阳市一模)已知a3，b2，clog32，则a，b，c的大小关系为(D)AabcBbacCcabDcb8801ab1clog32b1c，故选D基本初等函数图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数
4、的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a1和0a1两种情况讨论(2)研究由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数的性质，首先通过换元法转化为两个或多个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断1(2019浙江)在同一直角坐标系中，函数y，yloga(a0，且a1)的图象可能是(D)【解析】当0a1时，函数yax的图象过定点(0,1)，在R上单调递减，于是函数y的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，函数yloga的图象过定点，在上单调递减因此，选项D中的两个图象符合当a1时，函数yax的图象过定点(0,1)，在R上单调递增，于是函数y的图象过定点(0,1)，在R
5、上单调递减，函数yloga的图象过定点，在上单调递增显然A，B，C，D四个选项都不符合故选D2(2020江西省红色七校第一次联考)若a，b，c，满足2a3，blog25,3c2，则(A)AcabBbcaCabcDcba【解析】因为2a3(2,22)，所以1a2，因为3c2(1,3)，所以0clog242，所以cab.考点二函数的零点函数的零点与方程根的关系函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标考向1确定函数零点的个数或其存在范围典例2(1)(2020吉林省重点高中第二次月考)函数f(x)x3x24x的一个零点所在
6、区间为(A)A(2,0)B(1,0)C(0,1)D(1,2)(2)(2020辽宁省沈阳市一模)已知函数f(x)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，当x(0，)时，f(x)，则函数g(x)8f(x)26f(x)1的零点个数为(C)A20B18C16D14【解析】(1)因为f(x)x3x24xx(x2x4)，令g(x)x2x4，则g(2)2，g(1)2，g(0)4，g(1)4，g(2)2又函数g(x)的图象是一条连续不断曲线，且g(2)g(0)2(4)80，f0log340，f1log330所以在内有一个零点，x为一个零点故由题意可知，不符合要求综上可知，a的取值范围为2,3)，故选D利用函数零点
7、的情况求参数值(或范围)的三种方法3(1)(2020宿州二模)已知函数f(x)g(x)f(x)，则方程f(x)g(x)的解的个数为(A)A4B3C2D1(2)(2020绵阳二模)函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当1x1时，f(x)|x|.若函数yf(x)的图象与函数g(x)logax(a0，且a1)的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为(C)A(4,5)B(4,6)C5D6【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示，由g(x)f(x)，可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称，在同一坐标系内再作出yg(x)的图象，可得yf(x)和yg(x)的图象有4个交点，则方程f(x)g(x)的解的个
8、数为4故选A(2)因为f(x2)f(x)，所以f(x)的周期为2，在x1,1时，f(x)|x|.画出函数f(x)与g(x)logax的图象如图所示；若函数yf(x)的图象与函数g(x)logax(a0，且a1)的图象有且仅有4个交点，则函数g(x)logax的图象过(5,1)点，即a5考点三函数模型的实际应用函数的三种常见模型(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法(3)构建f(x)x(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解典例4(1)(2020辽宁模拟)人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，3040
9、分贝是较理想的安静环境，超过50分贝就会影响睡眠和休息，70分贝以上会干扰谈话，长期生活在90分贝以上的噪声环境，会严重影响听力和引起神经衰弱、头疼、血压升高等疾病，如果突然暴露在高达150分贝的噪声环境中，听觉器官会发生急剧外伤，引起鼓膜破裂出血，双耳完全失去听力，为了保护听力，应控制噪声不超过90分贝，一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)10lg，则90dB的声音与50dB的声音强度之比为(D)A10B100C1 000D10 000(2)(2020潍坊模拟)某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数yf(x)的图象，当血液中药物残留量不小于24
10、0毫克时，治疗有效设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(C)A上午10：00B中午12：00C下午4：00D下午6：00【解析】(1)由题意，可知当声音强度的等级为90dB时，有10lg90，即lg9，则109，此时对应的强度x1091012103，当声音强度的等级为50dB时，有10lg50，即lg5，则105，此时对应的强度x1051012107，90dB的声音与50dB的声音强度之比为103(7)10410 000故选D(2)当x0,4时，设yk1x，把(4,320)代入，得k180，y80x.当x4,20时，设yk2xb.把(4,320)，(20,0)分
11、别代入可得y40020x.yf(x)由y240，得或解得3x4或41或0a1时，由于f(u)递增，g(x)在内递减，在内递增，所以f(x)在内递减，在内递增，因为当x1,3时，f(x)min8，所以当x1,3时，f(x)minf()8，即a8，所以a16当0a1时，由于f(u)递减，g(u)在内递减，在内递增，所以f(x)在内递增，在内递减，因为当x1,3时，f(x)min8，所以f(3)8，即a2(不符合0a0，a1)(1)求f(x)的定义域；(2)求使得f(x)0的x的取值范围【错解】(1)令0得1x0loga1得1，解得0x1，所以x(0,1)【剖析】第(1)问的解答是正确的，第(2)问
12、将对数不等式化成分式不等式时，没有按照0a1分类讨论函数的单调性【正解】(2)依题令loga0loga1，(*)当a1时，ylogax在(0，)内递增，当0a1时，由式(*)得解得0x1；当0a1时，由式(*)得解得1x1时，f(x)0的x的取值范围是(0,1)；当0a0的x的取值范围是(1,0)2判断函数的零点的个数时忽略函数图象的不连续而致误典例3函数f(x)x的零点的个数为(A)A0B1C2D3【错解】因为f(1)2，f(1)2，所以f(1)f(1)0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，所以函数没有零点，也可由x0得x210方程无实数解故选A3在解决实际应用题时计量单位缺乏量纲意识典例
13、4甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P万元和Q万元，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式Px，Q.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别是多少元？【错解1】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30 000x元，获得利润总额为y元则将利润总额为y的单位换算成元有：yx，x0,30 000，令t，则x30 000t2，t0,100y(30 000t2)t(t)26 000，t0,100tx29 997.75(元)，30 000x2.25(元)【错解2】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30 000x元，获得利润总额
14、为y元把利润总额单位转化为元，则yx10 000，x0,30 000，令t，则x30 000t2，t0,100y2 000(30 000t2)t2 000(t)26107105，t0,100t.时y最大，此时对甲商品资金投入量为x30 000()229 999.999 999 977 5元，对乙商品资金投入量为0.000 000 022 5元，此时甲商品获得利润60 000 000.000 045元(不管怎样分配，甲商品都赚了投入资金的1 999倍的钞票！)【错解3】设对甲种商品投入金额x元，则乙种商品投资为30 000x元，获得利润总额为y元由于利润总额单位为万元，故y(x)，令t，则x30
15、 000t2，t0,100y(30 000t2)t(t)26 000，t0,100tx29 997.75(元)，30 000x2.25(元)【剖析】量纲不统一，对经验公式Px，Q的单位理解不清从量纲角度看，长度立方为体积、长度平方为面积(正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样)，Q的单位由经验公式给出的前提是变量x的单位万元确定，因此【正解1】设对甲种商品投入金额x万元，是乙种商品投资为(3x)万元，获得的利润总额为y万元由题意，得yx，x0,3，设t，则x3t2，t0，则y(3t2)t(t)2，t0，当t0，时，ymax，即x3，3x3.因此，为获取最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元【正解2】设对甲种商品投入金额x元，则目标函数应该为yx令t，则x30 000t2，t0,100则y(30 000t2)t(t150)2x30 000t27 500(余与解一同)
