1、2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分,考试时间120分钟)20205参考公式:锥体的体积公式:VSh,其中S为锥体的底面积,h为高一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分1. 已知集合A1,2,B2,4,8,则AB_2. 若实数x,y满足xyi1(xy)i(i是虚数单位),则xy_3. 如图是容量为100的样本的频率分布直方图,则样本数据落在区间6,18)内的频数为_I1While I0,MD24cos 120得(0,),(6分)则池内休息区总面积S2MBDM24sin (24cos 12),(0,)(9分)设f()sin (2cos 1),(0,)因为f()cos (2c
2、os 1)2sin24cos2cos 20cos ,又cos ,所以0(0,),使得cos 0,则当x(0,0)时,f()0f()在(0,0)上单调递增;当x(0,)时,f()0,则直线AB的方程为yk(x2),即kxy2k0.联立得(12k2)x28k2x8k240,解得xB,yB,所以AB.直线CD的方程为ykx,即kxy0,所以BC,所以矩形ABCD的面积S2,所以当且仅当k时,矩形ABCD的面积S的最大值为2.(11分)(3) 若矩形ABCD为正方形,则ABBC,即,则2k32k2k20(k0)令f(k)2k32k2k2(k0),因为f(1)10,又f(k)2k32k2k2(k0)的图
3、象不间断,所以f(k)2k32k2k2(k0)有零点,所以存在矩形ABCD为正方形(16分)19. (1) 解:函数f(x)1是“YZ函数”,理由如下:因为f(x)1,则f(x),当x0;当x1时,f(x)0,所以f(x)1的极大值f(1)10,函数单调递增,无极大值,不满足题意;当m0时,当0x0,函数单调递增,当x时,g(x)m0,函数单调递减,所以g(x)的极大值为g()ln mln m1.由题意知g()ln m1.(10分)(3) 证明: h(x)x2axb,因为a2,0b0,所以h(x)x2axb0有两个不等实根,设为x1,x2.因为所以x10,x20,不妨设0x1x2,当0x0,则
4、h(x)单调递增;当x1xx2时,h(x)0,则h(x)单调递减,所以h(x)的极大值为h(x1)xaxbx1b.(13分)由h(x1)xax1b0得xx1(ax1b)axbx1.因为a2,0b1,所以h(x1)xaxbx1b(axbx1)axbx1baxbx1bxbx1b(x1b)2b(b1)0.所以函数h(x)是“YZ函数”(16分)(其他证法相应给分)20. (1) 解:设等比数列an的公比为q,则cn2an1an2anqan(2q1)an,当q时,cn0,数列cn不是等比数列(2分)当q时,因为cn0,所以q,所以数列cn是等比数列(5分)(2) 证明:因为an恰好是一个等差数列的前n
5、项和,所以设这个等差数列为dn,公差为d.因为and1d2dn,所以an1d1d2dndn1,两式相减得an1andn1.因为an2anbn,所以bn1bn(an3an1)(an2an)(an3an2)(an1an)dn3dn12d,所以数列bn是等差数列(10分)(3) 证明:因为数列cn是等差数列,所以cn3cn2cn1cn.因为cn2an1an,所以2an4an3(2an3an2)2an2an1(2an1an),即 2(an4an2)(an3an1)(an2an),则2bn2bn1bn.因为数列bn是等比数列,所以b2n1bnbn2,则b2n1bn,即(bn1bn)(2bn1bn)0.因
6、为数列bn各项均为正数,所以bn1bn,(13分)则an3an1an2an,即an3an2an1an.又数列cn是等差数列,所以cn2cn2cn1,即(2an3an2)(2an1an)2(2an2an1),化简得2an3an3an2,将an3an2an1an代入得2(an2an1an)an3an2,化简得an2an2an1,所以数列an是等差数列(16分)(其他证法相应给分)2020届高三模拟考试试卷(泰州)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解:因为,所以解得(4分)设M1,则,即解得所以M1,(8分)所以M1.(10分)B. 解:由题可知,直线方程即为(sin cos cos sin
7、 )4.由cos x,sin y得直线的直角坐标方程为xy80.(4分)设点P的坐标为(cos ,sin ),点P到直线的距离d,(8分)当2k(kZ),即2k(kZ)时,d取得最大值5,此时点P的坐标为(,)(10分)C. 证明:由柯西不等式,得3(abc)(bca)()()2()2()2()2()2()2(5分)()2(abc)2,所以abc3.(10分)22. 解: 平面ADE平面ABCD,又ADE, DEAD. DE平面ADE,平面ADE平面ABCDAD, DE平面ABCD.由四边形ABCD为边长为2的正方形, DA,DC,DE两两互相垂直以D为坐标原点,为一组基底建立如图所示的空间直
8、角坐标系(2分)由EF平面ADE,且EF1, D(0,0,0),A(2,0,0),E(0,0,2),C(0,2,0),B(2,2,0),F(0,1,2)(1) (2,0,2),(0,1,2),则cos, AE和DF所成角的余弦值为.(5分)(2) (2,2,0),(0,1,2),设平面BDF的一个法向量为n(x,y,z),由取z1,得n(2,2,1)平面DFC的一个法向量为m(1,0,0), cosm,n.由二面角BDFC的平面角为锐角,二面角BDFC的余弦值为.(10分)23. (1) 解:1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1.因为S3
9、6,所以对应的kP分别为2,1,2,1,1,1,所以T38.(3分)(2) 解:设n个不同数的某一个排列P为a1,a2,an,因为n4l1,lN*,所以Sn(4l1)(2l1)为奇数而2Sk为偶数,所以不存在k(kN*,1kn)使得2SkSn.(5分)证明:因为2SkSn,即a1a2akak1ak2an,又由知不存在k(kN*,1kn)使得2SkSn,所以a1a2akak1ak2an;所以满足2SkSn的最大下标k即满足a1a2akak2an(ii),考虑排列P的对应倒序排列P:an,an1,a1,(i)(ii)即anak2aka2a1.由题意知kPnk1,则kPkPn1.(8分)又1,2,3,n,这n个不同数共有n!个不同的排列,可以构成个对应组合(P,P),且每组(P,P)中kPkPn1,所以Tn(n1)(10分)16