1、第2课时对数函数及其性质学习目标1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法(重、难点)；2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法(难点)；3.会解简单的对数不等式(重点)；4.了解反函数的概念及其图象特点(难点)预习教材P8687，完成下面问题：知识点一对数型复合函数的单调性(1)设ylogaf(x)(a0，a1)，首先应求使f(x)0的x的范围，即函数的定义域(2)在定义域内考虑uf(x)与ylogau的单调性，然后根据复合函数单调性规律“同增异减”来确定复合函数的单调性，所谓“同增异减”即内、外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内、外层函数单调性相反时，复合函数为减函数【预习
2、评价】我们知道y2f(x)的单调性与yf(x)的单调性相同，那么ylog2f(x)的单调区间与yf(x)的单调区间相同吗？提示ylog2f(x)与yf(x)的单调区间不一定相同，因为ylog2f(x)的定义域与yf(x)定义域不一定相同知识点二对数型函数的奇偶性对数函数本身没有奇偶性，但有些函数与对数函数复合后，就具有奇偶性，如ylog2|x|就是偶函数证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合有关对数的运算性质【预习评价】函数f(x)lg的奇偶性是_解析f(x)定义域为R，f(x)f(x)lglglglg 10，f(x)为奇函数答案奇函数知识点三对数不等式的解法一般地，对数不
3、等式的常见类型：当a1时，logaf(x)logag(x)当0a1时，logaf(x)logag(x)【预习评价】已知log0.72xlog0.7(x1)，求x的取值范围解函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.72xlog0.7(x1)得解得x1.x的取值范围为(1，)题型一对数型复合函数的单调性【例1】求函数y (x22x1)的值域和单调区间解设tx22x1，则t(x1)22.yt为单调减函数，且0t2，y21，即函数的值域为1，)再由函数y (x22x1)的定义域为x22x10，即1x1.tx22x1在(1，1上递增，在1,1)上递减，而yt为单调减函数函数y (x22x1
4、)的增区间为1,1)，减区间为(1，1规律方法求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x)为单调增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x)为单调减函数，简称“同增异减”【训练1】已知函数f(x) (x22x)(1)求函数f(x)的值域；(2)讨论f(x)的单调性解(1)由题意得x22x0，x22x0，0x2.当0x2时，yx22x(x22x)(0,1， (x22x)10，函数y (x22x)的值域为0，)(2)设ux22x(0x2)，yu，函数ux22x在(0,1)上是单调增函数，
5、在(1,2)上是单调减函数，yu是单调减函数，由复合函数的单调性得到函数f(x) (x22x)在(0,1)上是单调减函数，在(1,2)上是单调增函数题型二对数型复合函数的奇偶性【例2】判断函数f(x)ln 的奇偶性解由0可得2x2，所以函数的定义域为(2,2)，关于原点对称方法一f(x)ln ln ()1ln f(x)即f(x)f(x)，所以函数f(x)ln 是奇函数方法二f(x)f(x)ln ln ln ()ln 10，即f(x)f(x)，所以函数f(x)ln 是奇函数规律方法(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)(2)含对数式的奇偶性判断
6、，一般用f(x)f(x)0来判断，运算相对简单【训练2】判断函数f(x)lg (x)的奇偶性解方法一由x0可得xR，所以函数的定义域为R且关于原点对称，又f(x)lg (x)lg lg lg(x)f(x)，即f(x)f(x)所以函数f(x)lg(x)是奇函数方法二由x0可得xR，f(x)f(x)lg(x)lg(x)lg(x)(x)lg(1x2x2)0.所以f(x)f(x)，所以函数f(x)lg(x)是奇函数题型三对数不等式【例3】已知函数f(x)loga(1ax)(a0，且a1)解关于x的不等式：loga(1ax)f(1)解f(x)loga(1ax)，f(1)loga(1a)1a0.0a1.不
7、等式可化为loga(1ax)loga(1a)即0x1.不等式的解集为(0,1)规律方法对数不等式解法要点(1)化为同底logaf(x)logag(x)；(2)根据a1或0a1去掉对数符号，注意不等号方向；(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)0且g(x)0.【训练3】已知函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是_解析当a0时，f(a)log2a，f(a)a，f(a)f(a)，即log2aalog2，a，解得a1；当a0时，因f(a)f(a)，则 (a)log2(a)，解得a1，即1a0，综上实数a的取值范围是(1,0)(1，)答案(1,0)(1，)典例迁移题型四对数型函数的综合
8、应用【例4】已知函数f(x)loga(a0且a1)，(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性解(1)要使此函数有意义，则有或解得x1或x1，此函数的定义域为(，1)(1，)(2)f(x)logalogalogaf(x)又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)为奇函数f(x)logaloga(1)，函数u1 在区间(，1)和区间(1，)上单调递减所以当a1时，f(x)loga在(，1)，(1，)上递减；当0a1时，f(x)loga在(，1)，(1，)上递增【迁移1】已知实数x满足4x102x160，求函数y(log3x)2log32的值域解不等式4x102x160可
9、化为(2x)2102x160，即(2x2)(2x8)0.从而有22x8，即1x3.所以0log3x1.由于函数y(log3x)2log32可化为y(log3x)2log3x2(log3x)2，当log3x时，ymin；当log3x1时，ymax.所以，所求函数的值域为，【迁移2】已知函数f(x)lg(ax22x1)(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围解(1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax22x10的解集为R，结合二次函数图象可得解得a1.即a的取值范围是(1，)(2)若函数f(x)的值域为R，则ax22x1可取一切正实数，结合函
10、数图象可得a0或解得0a1.即a的取值范围是0,1【迁移3】已知函数f(x)loga(a0，且a1，m1)是奇函数(1)求实数m的值；(2)探究函数f(x)在(1，)上的单调性解(1)由已知条件得f(x)f(x)0对定义域中的x均成立logaloga0，即1，m2x21x21对定义域中的x均成立m21，即m1(舍去)或m1.(2)由(1)得f(x)loga.设t1，当x1x21时，t1t20，t1t2.当a1时，logat1logat2，即f(x1)f(x2)，当a1时，f(x)在(1，)上是减函数同理得当0a1时，f(x)在(1，)上是增函数规律方法(1)对于函数ylogaf(x)(a0且a
11、1)单调性的判断，首先应求满足f(x)0的x的范围，即函数的定义域假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在区间I2上单调递减，则当a1时，原函数与内层函数f(x)的单调性相同，即在I1上单调递增，在I2上单调递减当0a1时，原函数与内层函数f(x)的单调性不同，即在I1上单调递减，在I2上单调递增(2)关于对数函数性质的几点应用：ylogax中定义域(0，) ylogaf(x)的定义域，需f(x)0.ylogax过定点(1,0) ylogaf(x)过定点，只需f(x)1即可ylogax的单调性ylogaf(x)的单调性，利用ylogau和uf(x)的单调性判断考查ylogaf(x)的奇偶
12、性，定义域关于原点对称后利用函数奇偶性的定义来判定较容易.课堂达标1函数ylog2(x21)的增区间为_解析由x210解得定义域为x|x1或x1，又ylog2x在定义域上单调递增，yx21在(1，)上单调递增，函数的增区间为(1，)答案(1，)2已知函数ylog2(x22kxk)的值域为R，则k的取值范围是_解析令tx22kxk，由ylog2(x22kxk)的值域为R，得函数tx22kxk的图象一定恒与x轴有交点，所以4k24k0，即k0或k1.答案(，01，)3已知xln ，ylog52，z，则x，y，z的大小关系为_解析xln ln e，x1.ylog52log5，0y.z，z1.综上可得
13、，yzx.答案yzx4若函数yloga|x2|(a0且a1)在区间(1,2)上是单调增函数，则f(x)在区间(2，)上的单调性为_解析当1x2时，函数f(x)loga|x2|loga(2x)在区间(1,2)上是单调增函数，所以0a1；当x2时，函数f(x)loga|x2|loga(x2)在(2，)上是单调减函数答案单调递减5已知函数ylg(a)是奇函数，求实数a的值解由函数ylg(a)是奇函数，得lg(a)lg(a)lg ，即a，化简得44aa2(1x2)1x2，所以解得a1.课堂小结1比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a1和0a1两类讨论求解2解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.