1、第三章 章末学考测评(满分：150 分 测试时间：120 分钟)第卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设函数 f(x)的定义域为 R，x0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(D)AxR，f(x)f(x0)Bx0 是 f(x)的极小值点Cx0 是f(x)的极小值点 Dx0 是f(x)的极小值点解析 根据极值点是函数局部的性质可排除 A 选项，根据函数 f(x)的图象与 f(x)，f(x)，f(x)的图象分别关于 y 轴、x 轴、原点对称，可排除 B，C 选项，故选 D2若二次函数 yf(x)的图
2、象过原点，且它的导数 yf(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，则 yf(x)的图象的顶点在(C)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 设 f(x)ax2bxax2bax ax b2a2b24a，顶点 b2a，b24a，f(x)2axb是过第一、二、三象限的一条直线，则 b0，a0，所以 b2a0，b24a0 在(0,1)上恒成立，即 a3x2 在(0,1)上恒成立3x20 且 a1，函数 f(x)4ax2ax1 xcos x(1x1)，设函数 f(x)的最大值是 M，最小值是 N，则(B)AMN8 BMN6CMN8 DMN6解析 f(x)4ax2ax1 xcos x3ax
3、1ax1xcos x.令 g(x)ax1ax1xcos x，则 g(x)是奇函数，所以 g(x)的值域为对称区间，设mg(x)m(m0)，则 3mf(x)3m，所以 MN6，故选 B8已知 aR，函数 f(x)exaex 的导函数是 f(x)，且 f(x)是奇函数，若曲线 yf(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为(D)Aln 22 Bln 2Cln 22 Dln 2解析 由题可知 f(x)exaex，f(x)是奇函数，且 f(x)的定义域为 R，f(0)0，即 1a0，得 a1，f(x)exex.设切点为(x0，y0)，则 f(x0)ex0ex032，即 2e2x03ex02，解得
4、ex02 或 ex012(舍去)，x0ln 2.9已知函数 f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是(C)Ax0R，使 f(x0)0B若 x0 是 f(x0)的极大值点，则 f(x)在区间(，x0)上单调递增C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0)上单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)0解析 当 x时，f(x)；当 x时，f(x)且 f(x)在定义域内是连续函数，故x0R，使 f(x0)0，A 正确；函数 f(x)图象的极大值点在极小值点的左侧，故在极大值点的左侧函数单调递增，B 正确；在极小值点的左侧函数不单调，C 错误；若 x0 是 f(x)
5、的极值点，根据导数的意义，则 f(x0)0，D 正确10曲线 yx3 上一点 B 处的切线 l 交 x 轴于点 A，OAB(O 是原点)是以 A 为顶点的等腰三角形，则切线 l 的倾斜角为(C)A30 B45C60 D120解析 设 B(x0，x30)，由于 y3x2，故切线 l 的方程为 yx303x20(xx0)，令 y0，得点 A2x03，0，由|OA|AB|，得2x032x02x032(x300)2，即13x20 x60，当 x00 时，题目中的三角形不存在，故得 x4013，故 x20 33，直线 l 的斜率为 3x20 3，故直线 l 的倾斜角为 60.11函数 yx22sin x
6、 的图象大致是(C)解析 y122cos x，令 y0，解得 cos x14，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数 yx22sin x 有无穷多个极值点，又函数 yx22sin x 是奇函数，图象关于坐标原点对称，故只能是选项 C 中的图象12若 a，b 在区间0，3上取值，则函数 f(x)ax3bx2ax 在 R 上有两个相异极值点的概率是(C)A12 B 33C 36 D1 36解析 易得 f(x)3ax22bxa，函数 f(x)ax3bx2ax 在 R 上有两个相异极值点的充要条件是 a0，且 f(x)0 根的判别式大于 0，即 a0，且 4b212a20，又 a，b 在区间0
7、，3上取值，则 1a0，3b 3a，点(a，b)满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为 3，阴影部分的面积为 32，故所求的概率是 36.第卷二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13函数 f(x)x315x233x6 的单调减区间为_(1,11)(区间形式不唯一)_.解析 由题意得 f(x)3x230 x333(x11)(x1)由 f(x)0,1x2)的最大值为 3，最小值为5，则 a_2_，b_3_.解析 由题意，得 y4ax38ax4ax(x22)令 y0，解得 x10(舍去)，x2 2，x3 2(舍去)又 f(1)a4abb3a
8、，f(2)16a16abb，f(2)b4a，所以b4a5，b3，所以 a2，b3.16函数 f(x)x3bx2cxd 的大致图象如图所示，则 x21x22_169 _.解析 由题图知函数图象过原点，所以 d0.又 f(1)0 且 f(2)0，所以1bc0 且 84b2c0，解得 b1，c2，所以函数 f(x)x3x22x，所以 f(x)3x22x2.由题意知 x1，x2 是方程 3x22x20 的两根，所以 x1x223，x1x223，所以 x21x22(x1x2)22x1x24943169.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)判
9、断下面的式子是否正确，如果不正确，请加以改正1cos xx22x1cos xx2sin xx2.解析 不正确，分母未平方，分子上正负号弄错，正确求导过程如下：1cos xx21cos xx21cos xx2x22sin xx21cos x2xx4xsin x21cos xx3xsin x2cos x2x3.18(12 分)设函数 f(x)sin xcos xx1，0 x2，求函数 f(x)的单调区间与极值解析 由 f(x)sin xcos xx1,0 x2，知 f(x)cos xsin x11 2sinx4.令 f(x)0，从而 sinx4 22，得 x 或 x32.当 x 变化时，f(x)，
10、f(x)的变化情况如下表.x(0，)，323232，2f(x)00f(x)单调递增2单调递减32单调递增因此，由上表知 f(x)的单调递增区间是(0，)与32，2，单调递减区间是，32，极小值为 f32 32，极大值为 f()2.19(12 分)已知函数 f(x)13x34xm 在区间(，)上有极大值283.(1)求实数 m 的值；(2)求函数 f(x)在区间(，)上的极小值解析 f(x)x24(x2)(x2)令 f(x)0 得 x2 或 x2.故 f(x)的增区间为(，2)和(2，)；减区间为(2，2)(1)当 x2 时，f(x)取得极大值，故 f(2)838m283，所以 m4.(2)由(
11、1)得 f(x)13x34x4，又当 x2 时，f(x)有极小值 f(2)43.20(12 分)某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费 t(单位：百万元)，可增加销售额为t25t(单位：百万元)(0t5)(1)若该公司将当年的广告费控制在 300 万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入 300 万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费 x(单位：百万元)，可增加的销售额约为13x3x23x(单位：百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益销售额投入)解析(1)设
12、投入 t 百万元的广告费后增加的收益为 f(t)百万元，则有 f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以当 t2 时，f(t)取得最大值 4，即投入 2 百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为 x 百万元，则用于广告促销的资金为(3x)百万元，又设由此获得的收益是 g(x)，则有g(x)13x3x23x(3x)25(3x)313x34x3(0 x3)，所以 g(x)x24.令 g(x)0，解得 x2(舍去)或 x2.又当 0 x0；当 2x3 时，g(x)0，得 x2，所以函数 f(x)增区间为(，2)，(2，)(2)f(4)43，f(2)283
13、，f(2)43，f(3)1，则当 x4,3时，f(x)的最大值为283，故要使 f(x)m2m103 对 x4,3恒成立，只要283 m2m103，解得 m2 或 m3.所以实数 m 的取值范围是(，32，)22(12 分)已知函数 f(x)aln xx1bx，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 x2y30.(1)求 a，b 的值；(2)证明：当 x0，且 x1 时，f(x)ln xx1.解析(1)f(x)ax1x ln xx12bx2.由于直线 x2y30 的斜率为12，且过点(1,1)，故f11，f112，即b1，a2b12，解得a1，b1.(2)证明：由(1)知 f(x)ln xx11x，所以 f(x)ln xx111x22ln xx21x.设函数 h(x)2ln xx21x(x0)，h(x)2x2x2x21x2x12x2.当 x1 时，h(x)0，可得11x2h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0.从而当 x0，且 x1 时，f(x)ln xx10，即 f(x)ln xx1.