1、3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件.基础初探教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k1”成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用.教材整理2贝努利不等式1.定理1(贝努利不等式)设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x)n1nx.2.定理2(选学)设为有理数，x1，(1)如果01，则(1x)1x
2、；(2)如果1，则(1x)1x.当且仅当x0时等号成立.事实上，当是实数时，也是成立的.设nN，则2n与n的大小关系是()A.2nnB.2nn，即2nn.【答案】A质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型数学归纳法证明不等式已知Sn1(n1，nN)，求证：S2n1(n2，nN).【精彩点拨】求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n1)，首先验证n2，然后证明归纳递推.【自主解答】(1)当n2时，S2211，即n2时命题成立.(2)假设nk(k2，kN)时命题成立，即S2k
3、11.当nk1时，S2k11111.故当nk1时，命题也成立.由(1)(2)知，对nN，n2，S2n1都成立.此题容易犯两个错误，一是由nk到nk1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是共有多少项之和，实际上 2k1到2k1是自然数递增，项数为2k1(2k1)12k.再练一题1.若在本例中，条件变为“设f(n)1(nN)，由f(1)1，f(3)1，f(7)，f(15)2，” .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明.【解】数列1,3,7,15，通项公式为an2n1，数列，1，2，通项公式为an，猜想：f(2n1).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立.假设当
4、nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1)，则f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).当nk1时不等式也成立.据知对任何nN原不等式均成立.利用数学归纳法比较大小设Pn(1x)n，Qn1nxx2，nN，x(1，)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明. 【导学号：38000059】【精彩点拨】本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特殊值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明.【自主解答】(1)当n1,2时，PnQn.(2)当n3时，(以下再对x进行分类).若x(0，)，显然有PnQn.若x0，则PnQn.若x(1,0)，则P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q4
5、4x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假设PkQk(k3)，则Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即当nk1时，不等式成立.所以当n3，且x(1,0)时，PnQn.1.利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立.2.本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用.再练一题2.已知数列an，bn与函数f(x)，g(x)，xR，满足条件：b1b，anf(bn)
6、g(bn1)(nN)，若函数yf(x)为R上的增函数，g(x)f1(x)，b1，f(1)1，证明：对任意xN，an1an.【证明】因为g(x)f1(x)，所以ang(bn1)f1(bn1)，即bn1f(an).下面用数学归纳法证明an1an(nN).(1)当n1时，由f(x)为增函数，且f(1)1，得a1f(b1)f(1)1，b2f(a1)f(1)1，a2f(b2)f(1)a1，即a2a1，结论成立.(2)假设nk时结论成立，即ak1ak.由f(x)为增函数，得f(ak1)f(ak)，即bk2bk1.进而得f(bk2)f(bk1)，即ak2ak1.这就是说当nk1时，结论也成立.根据(1)和(
7、2)可知，对任意的nN，an1an.利用贝努利不等式证明不等式设n为正整数，记ann+1，n1,2,3，.求证：an1an.【精彩点拨】用求商比较法证明an11，n1,2,3，.由于1，因此，根据贝努利不等式，有1.anan1对于一切正整数n都成立.本题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立.再练一题3.设a为有理数，x1.如果0a1，证明：(1x)a1ax，当且仅当x0时等号成立.【证明】0a1，令a，1mn2(nN).【精彩点拨】【自主解答】(1)当n1时，左边2124；右边1，左边右边；当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，
8、左边23210，右边329，所以左边右边.因此当n1,2,3时，不等式成立.(2)假设当nk(k3且kN)时，不等式成立，即2k2k2(kN).当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)k22k1(k1)2.(因为k3，则k30，k10)所以2k12(k1)2，故当nk1时，原不等式也成立.根据(1)(2)知，原不等式对于任何nN都成立.1.本例中，针对目标k22k1，由于k的取值范围(k1)太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤(把验证n1扩大到验证n1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，达到目标.2.
9、利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累.再练一题4.设x1，且x0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1x)n1nx.【证明】(1)当n2时，由x0，知(1x)212xx212x，因此n2时命题成立.(2)假设nk(k2为正整数)时命题成立，即(1x)k1kx，则当nk1时，(1x)k1(1x)k(1x)(1kx)(1x)1xkxkx21(k1)x.即nk1时，命题也成立.由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.不等式中的探索、猜想、证明
10、探究2利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是什么？【提示】利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时.若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论. 【导学号：38000060】【精彩点拨】先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便.【自主解答】当n1时，则，a.(1)n1时，已证.(2)假设当nk时(k1，kN)，当nk1时，.，0，也成立.由(1)(2)可知，对一切nN，都有，a的最大
11、值为25.1.不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.2.本题中从nk到nk1时，左边添加项是，这一点必须清楚.再练一题5.设an1(nN)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论.【解】假设g(n)存在，那么当n2时，由a1g(2)(a21)，即1g(2)，g(2)2；当n3时，由a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，g(3)3，当n4时，由a1a2a3g(4)(a41)，即1g(4)，g(4)4，由此猜想g(n)n(n2，nN).下面用数学归纳法证明：当n2，nN时，等式a1a2a3an1n(an
12、1)成立.(1)当n2时，a11，g(2)(a21)21，结论成立.(2)假设当nk(k2，kN)时结论成立，即a1a2a3ak1k(ak1)成立，那么当nk1时，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，说明当nk1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n，存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立.构建体系1.用数学归纳法证不等式：1成立，起始值至少取()A.7B.8C.9D.10【解析】左边等比数列求和Sn2，即1，n7，n取8，选B.【答案】B2.用数学归纳法证明2nn2(n5，nN)成立时第
13、二步归纳假设的正确写法是()A.假设nk时命题成立B.假设nk(kN)时命题成立C.假设nk(k5)时命题成立D.假设nk(k5)时命题成立【解析】由题意知n5，nN，故应假设nk(k5)时命题成立.【答案】C3.用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边() 【导学号：38000061】A.增加了一项B.增加了两项，C.增加了两项，但减少了一项D.以上各种情况均不对【解析】nk时，左边，nk1时，左边，增加了两项，少了一项.【答案】C4.用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN)”时，第一步的验证为_.【解析】当n1时，2111212，即44成立.【答案】21112125.试证明：12(nN).【证明】(1)当n1时，不等式成立.(2)假设nk(k1，kN)时，不等式成立，即12.那么nk1时，2 2.这就是说，nk1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知，不等式对nN成立.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)