1、2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型1.理解最值概念，并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2.能利用不等式解决有关的实际问题.基础初探教材整理最值问题，优化的数学模型1.最值设D为f(x)的定义域，如果存在x0D，使得f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，xD，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题，它属于更一般的问题极值问题的一个特别的情况.2.分离常数法分离常数法就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分.这在求含有分式的最值问题时经常用到.这种类型的最值问题也可以用去分母的
2、方法转化成关于x的二次方程，然后利用判别式求最值.用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意等号成立的条件.1.已知0x1，则x(1x)取最大值时x的值为()A.B.C.D.【解析】0x1，x(1x)，当且仅当x时取等号.【答案】B2.已知t0，则函数y的最小值为_.【解析】t0，yt4242.【答案】2质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用柯西不等式求最值设x0，y0，z0，a，b，c，l，m，n是给定的正数，并且axbycz为常数，求的最小值. 【导学号：38000045】【精彩点拨】题设中的与的形
3、式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值.【自主解答】由柯西不等式得()2()2()2()2，所以.由柯西不等式成立的条件得xk，yk，zk.其中，k.它们使得axbycz，且，所以的最小值为.利用柯西不等式求最值时，必须验证等号成立的条件是否满足.再练一题2.设x，y，zR，且1.求xyz的最大值和最小值.【解】根据柯西不等式，知42()222，当且仅当，即x，y1，z或x，y3，z时等号成立.251(xyz2)2.|xyz2|5，3xyz7，即xyz的最大值为7，最小值为3.利用二次函数求最值某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资
4、x万元，所获利润为P(x40)210万元，为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修建一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Q(60x)2(60x)万元.问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？【精彩点拨】分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小即可.【自主解答】若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中拿出40万元投资，可获最大利润10万元.这样10年总利润最
5、大值为W1010100(万元).若对该产品开发，则前5年中，当x30时，Pmax，前5年总利润为W15(万元)；设后5年中，x万元用于本地销售投资，60x万元用于异地销售投资，则总利润W2555(x30)24 500，当x30时，(W2)max4 500.10年总利润最大值为4 500(万元).因4 500100，故该项目具有极大的开发价值.1.本题实际上是两个二次函数的叠加问题，叠加后的二次函数最值要比叠加前的二次函数最值大，从而得解.本题的现实意义也很大.2.解不等式应用题的步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；(3)求
6、解不等式；(4)还原实际问题.再练一题2.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.【解】(1)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(12x%)万担，收购总金额为200a(12x%)万元.依题意：y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10).(2)原计划税收为2
7、00a10%20a(万元).依题意得：a(1002x)(10x)20a83.2%，化简得，x240x840，42x2.又0x10，0x2，x的取值范围是00).(2)由Vha2(h0)，易得V.h22，V.等号当且仅当h，即h1时取得.故当h1米时，V有最大值，V的最大值为立方米.构建体系最值问题1.已知x1，y1，且lg xlg y4，那么lg xlg y的最大值是()A.2B.C.D.4【解析】4lg xlg y2，lg xlg y4.【答案】D2.已知a，b为正数，且ab1，则()2的最大值是() 【导学号：38000046】A.2 B.C.6D.12【解析】()2(11)2(1212)
8、(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当，即ab时等号成立.【答案】D3.数列an的通项公式an，则数列an中的最大项是()A.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项【解析】an，当且仅当n，即n3时等号成立.又n为正整数，检验可知选D.【答案】D4.函数y5的最大值为_.【解析】因为函数的定义域为1,5，且y0，则y56.当且仅当5时，等号成立，即x时，函数取最大值6.【答案】65.(1)求函数y的最小值；(2)求函数ycos2x(1sin x)的最大值；(3)设x1，求函数ylog2xlogx4的最小值.【解】(1)设l，则l2，于是yl.y1，当l2，)时，y0，即在2，)上函数单调递增，当l2，即x0时，y取得最小值，最小值为y2.(2)y(1sin2x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)(1sin x)4(1sin x)44.等号成立1sin xsin x，方程sin x有解，于是函数ycos2x(1sin x)有最大值.(3)当x1时，log2x0，logx40，于是ylog2xlogx4log2x2.等号成立log2xlog2x(log2x舍去)x2，于是ymin2.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)