1、3.4 生活中的优化问题举例课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为_，通过前面的学习，我们知道_是求函数最大(小)值的有力工具，运用_，可以解决一些生活中的_2解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值3解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题 用函数表示的数学问题 优化问题的答
2、案 用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的_过程一、选择题1某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)x260 x2(0 x400，则总利润最大时，年产量是()A100B150C200D300题号123456答案二、填空题7某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1 和y2 分别为 2 万元和 8 万元那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处8如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与 h 的比为_
3、9做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是 27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_三、解答题10某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素记余下工程的费用为 y 万元(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？11某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品
4、单价的降低值 x(单位：元，0 x30)的平方成正比，已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升12某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少 10 层、每层 2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积)13已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式
5、为 C1004q，价格 p 与产量 q 的函数关系式为 p2518q，求产量 q 为何值时，利润 L 最大利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)；(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案3.4 生活中的优化问题举例答案知识梳理1优化问题 导数 导数 优化问题作业设计1B V(x)60 x32x20，x0 或 x40.x(0,40)40(40,60)V(x)0V(x)极大值可见当
6、x40 时，V(x)达到最大值2C yx281，令 y0，得 x9 或 x9(舍去)当 0 x0；当 x9 时，y0)，则 L2512x2.令 L0，得 x16.x0，x16.当 x16 时，L 极小值Lmin64，此时堆料场的长为51216 32(米)4C 设底面边长为 a，直三棱柱高为 h.体积 V 34 a2h，所以 h 4V3a2，表面积 S234 a23a 4V3a2 32 a24 3Va，S 3a4 3Va2，由 S0，得 a3 4V.经验证，当 a3 4V时，表面积最小5D 设高为 x cm，则底面半径为 202x2 cm，体积 V3x(202x2)(0 x0，当 x20 33，
7、20 时，V400，p300 x 0 x400100 x400，p0，当 0 x400 时，得 x300；当 x400 时，p0 恒成立，易知当 x300 时，总利润最大75解析 依题意可设每月土地占用费 y1k1x，每月库存货物的运费 y2k2x，其中 x 是仓库到车站的距离于是由 2k110，得 k120；由 810k2，得 k245.因此两项费用之和为 y20 x 4x5，y20 x245，令 y20 x2450 得 x5(x5 舍去)，经验证，此点即为最小值点故当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小811解析 设窗户面积为 S，周长为 L，则 S2x22hx，h S2x4x，
8、所以窗户周长Lx2x2h2x2xSx，L22Sx2.由 L0，得 x2S4，x0，2S4 时，L0，所以当 x2S4时，L 取最小值，此时hx2Sx24x22S4x2444 41.93解析 设半径为 r，则高 h27r227r2.水桶的全面积 S(r)r22r27r2 r254r.S(r)2r54r2，令 S(r)0，得 r3.当 r3 时，S(r)最小10解(1)设需新建 n 个桥墩，则(n1)xm，即 nmx1(0 xm)，所以 yf(x)256n(n1)(2 x)x256mx1 mx(2 x)x256mxm x2m256(0 xm)(2)由(1)知，f(x)256mx2 12mx12 m
9、2x2(x32512)令 f(x)0，得 x32512，所以 x64.当 0 x64 时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64x0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x64 处取得最小值，此时 nmx164064 19.故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小11解(1)设商品降低 x 元时，多卖出的商品件数为 kx2，若记商品在一个星期的销售利润为 f(x)，则依题意有f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知条件 24k22，于是有 k6，所以 f(x)6x3126x2432x9 072，x0,30(2)根据(1)
10、，有 f(x)18x2252x43218(x2)(x12)当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x0,2)2(2,12)12(12,30f(x)00f(x)极小值极大值故 x12 时，f(x)达到极大值因为 f(0)9 072，f(12)11 664，所以定价为 301218(元)能使一个星期的商品销售利润最大12解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则 f(x)(56048x)2 16010 0002 000 x56048x10 800 x(x10，xN*)，f(x)4810 800 x2，令 f(x)0 得 x15.当 x15 时，f(x)0；当 0 x15 时，f(x)0.因此，当 x15 时，f(x)取最小值 f(15)2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为 15 层13解 收入 Rqpq2518q 25q18q2.利润 LRC25q18q2(1004q)18q221q100(0q200)，L14q21，令 L0，即14q210，解得 q84.因为当 0q0；当 84q200 时，L0，所以当 q84 时，L 取得最大值所以产量 q 为 84 时，利润 L 最大