1、1.集合中元素的特性集合中元素有两大特性确定性、互异性，确定性是指构成集合的元素要有明确的标准；而互异性是指一个集合中的元素不能有重复，求含有参数的集合元素时利用互异性来进行讨论，从而达到确定集合的目的.2.空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往被忽视而导致漏解.3.集合的运算 集合的运算有交、并、补三种.在集合运算过程中应力求做到“三化”：(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？(2)具体化：具体求出相关集合中函数的x的取值集合、y的取值集合或方程、不等式的解集等；不能
2、具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式.(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题.进行集合的运算时应当注意：勿忘对空集情形的讨论；勿忘集合中元素的互异性；对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍.题型一集合间的关系集合与集合之间的关系有包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.例1已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1.(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)若xZ，求A的非空真子集个数.解Ax|2x5，Bx|m1x2m1，
3、(1)BA，B如图所示即2m3.B由m12m1得m2.综上m3.(2)xZ，A2，1,0,1,2,3,4,5.则A的非空真子集个数为282254.跟踪演练1下列正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的Venn图是()答案B解析由N1,0，知NM，故选B.题型二集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往会因考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对的讨论，不要遗漏.例2 已知集合Ax|0x2，Bx|axa3.(1)若(RA)BR，求a的取值范围.(2)是否存在a使(RA)BR且AB
4、？解(1)Ax|0x2，RAx|x0，或x2.(RA)BR.1a0.(2)由(1)知(RA)BR时，1a0，而2a33，AB，这与AB矛盾.即这样的a不存在.跟踪演练2(1)已知集合U2,3,6,8，A2,3，B2,6,8，则(UA)B_.(2)已知集合AxR|x|2，BxR|x1，则AB等于()A.xR|x2 B.xR|1x2C.xR|2x2 D.xR|2x1答案(1)6,8(2)D解析(1)U2,3,6,8，A2,3，UA6,8.(UA)B6,82,6,86,8.(2)AxR|x|2xR|2x2.ABxR|2x2xR|x1xR|2x1. 题型三分类讨论思想的应用在解决含有字母参数的问题时，
5、常用到分类讨论思想.分类讨论时要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏.本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合元素互异性、集合运算中出现AB，ABA，ABB等符号语言时对的讨论等.例3已知集合Ax|x0，Bx|x2xp0，且BA，求实数p的范围.解(1)当B时，BA，由(1)24p0，解得p.(2)当B，且BA时，方程x2xp0存在两个正实根.由x1x210，(1)24p0，且x1x2p0，得0p.由(1)(2)可得p的取值范围为p|p0.跟踪演练3设集合Ax2,2x1，4，Bx5，1x，9，若AB9，求满足条件的x的值.解由AB9，得9A，所以x29或2x19.故x
6、3或x5.当x3时，B2，2,9，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去.当x3时，A9，7，4，B8,4,9，满足题意.当x5时，A25,9，4，B0，4,9，AB9，4与已知矛盾，应舍去，综上所述，满足条件的x值为3.题型四数形结合思想集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解.例4已知集合Ax|x1，或x1，Bx|2axa1，a1，BA，求实数a的取值范围.解a1，2aa1，B.画出数轴分析，如图所示.由图知，要使BA，需2a1或a11，即a或a2.又a1，实数a的取值范围是a|a2，或a1.跟踪演练4已知集合
7、Ax|x1，或x2，集合Bx|4xp0.当BA时，求实数p的取值范围.解集合A，B都是以不等式的形式给出的数集，欲求满足BA的实数p，可先将集合A在数轴上表示出来，然后再根据集合B中不等式的方向，确定p与集合A中端点1或2的关系.Bx|4xp0，将集合A在数轴上表示出来，如图所示.BA，1，即p4.故实数p的取值范围是p|p4.1. 要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系.2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.3.利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心.4.遗忘空集的存在性也是常见的致误原因，在AB，ABB，ABA，AB中容易忽视集合A这一情况，预防出现错误的办法是分类讨论.