1、基础诊断考点突破最新考纲 1.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；2.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理第2讲 直线与圆 基础诊断考点突破1圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的_等于它所对的_的一半推论：()推论1：_所对的圆周角相等；_中，相等的圆周角所对的_也相等()推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_(2)圆心角定理：圆心角的度数等于_知 识 梳 理圆周角圆心角同弧或等弧同圆或等圆弧直角直径它所对弧的度数基础诊断考点突破2弦切角的性质弦切角定理
2、：弦切角等于它_所对的圆周角3圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线_经过_的半径(2)推论：推论1：经过_且垂直于切线的直线必经过_推论2：经过_且垂直于切线的直线必经过_所夹的弧垂直于切点圆心切点切点圆心基础诊断考点突破4与圆有关的比例线段定理名称 基本图形 条件 结论 应用 相交弦定理 弦AB，CD相交于圆内点P(1)PAPB_；(2)ACP_(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角 割线定理 PAB，PCD是O的割线(1)PAPB_；(2)PAC_(1)求线段PA，PB，PC，PD；(2)应用相似求AC，BD PCPDBDPPCPDPDB基础诊断考点突破切
3、割线定理 PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2_；(2)PAB_(1)已知PA，PB，PC知二可求一；(2)求解AB，AC 切线长定理 PA，PB是O的切线(1)PA_；(2)OPA_(1)证线段相等，已知PA求PB；(2)求角 PBPCPCAPBOPB基础诊断考点突破5.圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理1：圆内接四边形的对角_定理2：圆内接四边形的外角等于它的_(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角_，那么这个四边形的四个顶点_推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的_，那么这个四边形的四个顶点_互补内角的对角互补共圆对角共圆基础诊
4、断考点突破1.如图，ABC中，C90，AB10，AC6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为_解析 连接CP.由推论2知CPA90，即CPAB，由射影定理知，AC2APAB.AP3.6，BPABAP6.4.答案 6.4诊 断 自 测基础诊断考点突破答案 502.如图，AB，AC 是O 的两条切线，切点分别为 B，C，D 是优弧BC 上的点，已知BAC80，那么BDC_解析 连接 OB、OC，则 OBAB，OCAC，BOC180BAC100，BDC12BOC50.基础诊断考点突破3(2014陕西卷)如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_
5、答案 3解析 利用相似三角形的性质求解 AA，AEFACB，AEFACB，ACAEBCEF，2BCEF，EF3.基础诊断考点突破4.(2015广州调研)如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为A，MAB35，则D_解析 连接BD，由题意知，ADBMAB35，BDC90，故ADCADBBDC125.答案 125基础诊断考点突破5如图所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径r_解析 设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的割线定理知，PAPBPDPC，1
6、3(3r)(3r)，则 r 6.答案 6基础诊断考点突破考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】如图所示，O的直径为6，AB为O的直径，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.(1)求DAC的度数；(2)求线段AE的长 解(1)由已知ADC是直角三角形，易知CAB30，由于直线l与O相切，由弦切角定理知BCF30，由DCAACBBCF180，又ACB90，知DCA60，故在RtADC中，DAC30.基础诊断考点突破(2)法一 连接BE，如图1所示，EAB60CBA，AB为公共边，则RtABERtBAC，所以AEBC3.图1 图2基础诊断
7、考点突破法二 连接EC，OC，如图2所示，则由弦切角定理知，DCECAE30，又DCA60，故ECA30，又因为CAB30，故ECACAB，从而ECAO，由OCl，ADl，可得OCAE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OAOC，故四边形AOCE是菱形，故AEAO3.基础诊断考点突破规律方法(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角基础诊断考点突破【训练1】如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)
8、证明：ABEADC；(1)证明 由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACD是同弧所对的圆周角所以AEBACD.故ABEADC.(2)若ABC 的面积 S12ADAE，求BAC 的大小基础诊断考点突破(2)解 因为ABEADC，所以ABADAEAC，即 ABACADAE又 S12ABACsinBAC，且 S12ADAE，故 ABACsinBACADAE，则 sinBAC1.又BAC 为ABC 的内角，所以BAC90.基础诊断考点突破考点二 与圆有关的比例线段【例2】如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求证：(1)ADAE；(2)A
9、D2DBEC.证明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分线，故EPCAPD.又PA是O的切线，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.基础诊断考点突破(2)PCEPADCPEAPD PCEPADECADPCPA；PEAPDBAPEBPD PAEPBDAEDBPAPB.又 PA 是切线，PBC 是割线PA2PBPCPAPBPCPA.故ECADAEDB，又 ADAE，故 AD2DBEC.基础诊断考点突破规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用
10、中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理基础诊断考点突破【训练2】(2013天津卷)如图，ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若ABAC，AE6，BD5，则线段CF的长为_ 解析 由切割线定理得AE2EBED，解得EB4.因为ABAC，所以ABCACBADB.由弦切角定理得EABEDA，所以EABABC，则AEBC，基础诊断考点突破因为 ACBD，所以四边形 AEBC 是平行四边形 所以 AEBC6，ACEB4，又由题意可得CAFCBA，所以CACBC
11、FCA，CFCA2CB 83.答案 83基础诊断考点突破考点三 圆内接四边形的判定及应用【例3】(2015银川一中月考)如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小(1)证明 连接OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC，基础诊断考点突破于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆(2)解 由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以OAMOPM，由(1)得OPAP，
12、因为圆心O在PAC的内部，所以OPMAPM90，所以OAMAPM90.基础诊断考点突破规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆基础诊断考点突破【训练3】如下图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点(1)求证：B，D，H，F四点共圆；(2)若 AC2，AF2 2，求BDF 外接圆的半径基础诊断考点突破(1)证明 因为AB为圆O的一条直径，所以AFB90，所以BFH90.又DHBD，所以HDB90，所以BFHHDB180，所以B，D，H，F四点共圆基础诊断考点突破(2)解 由题意知 AH 与圆 B 相切于点 F，由切割线定理得 AF2ACAD，即(2 2)22AD，解得 AD4，所以 BD12(ADAC)1，BFBD1.易证ADHAFB，所以DHBFADAF，得 DH 2，连接 BH，由(1)可知 BH 为BDF 外接圆的直径，BH BD2DH2 3，故BDF 外接圆的半径为 32.