1、2020-2021东莞市第四高级中学高一年级4月段考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合要求.1.下列命题中正确的是（ ）A若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 B模相等的两个向量是相等向量C若和都是单位向量,则= D两个相等向量的模相等2已知向量， ，则 （ ）ABCD3.下列命题正确的是（ ）A棱柱的每个面都是平行四边形B一个棱柱至少有五个面C棱柱有且只有两个面互相平行D棱柱的侧面都是矩形4.我国东汉末数学家赵夾在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的
2、一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）A B C D5.在中，的面积为，则外接圆面积为（ ）A B C D6.已知,，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）A B C D7.已知水平放置的，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，那么原的面积是( )AB C D8.在中，分别为的中点，为上的任意一点，实数满足，设的面积分别为，记，则取到最大值时，的值为（ ）A. B.1 C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A设，为非零
3、向量，则“”是“”的充要条件B设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角.C设，为非零向量，则.D若点G为的重心，则.10.已知是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是（ ）ABCD11.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ） A圆柱的侧面积为 B圆锥的侧面积为C圆柱的侧面积与球面面积相等 D圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：212.如图，已知长方形中，则下列结论正确的是（ ）A当时， B当时，C对任意，不成立 D的最小值为4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量与的夹角为，且，则=_.14已知长方体的
4、长宽高分别为，则该长方体外接球的表面积为_15.圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为_.16.南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、为三角形的三边和面积）表示.在中，、分别为角、所对的边，若，且，则面积的最大值为_.四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得 同时
5、测得海里（1）求AD的长度; （2）求，之间的距离.18.已知向量在同一平面上，且.（1）若，且，求向量的坐标（2）若，且与垂直，求的值.19如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.20.在中，角的对边分别为，若，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.21.如图，在四边形ABCD中，且， .（1）求实数的值；（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.22.已知中，角所对的边分别为，满足（1）求的大小；（2）如图，在直线的右侧取点，使得当角为何值时，四边形面积最大东莞市第四高级中学高一年级4月段考数学试题参考答案
6、123456789101112DABBCABDADACDCDBCD13. 14. 15. 16. 8.【解析】由题意可得，是的中位线，到的距离等于的边上的高的一半，可得.由此可得，当且仅当，即为的中点时，等号成立.由向量加法的四边形法则可得，两式相加，得.，根据平面向量基本定理，得，从而得到.16.【解析】，则，可得，所以，.当且仅当时，等号成立.因此，面积的最大值为.17.解析：（1）如图所示,在中由正弦定理可得， 5分（2）， ，在中，由余弦定理得，即（海里）答：， ，间的距离为海里. 10分18.解 （1），设，即 ，则.，或. 6分（2），即即则. 12分19.解 （1）由正方体的特点
7、可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、都是直角边为的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积 6分（2）正方体的体积为，三棱锥的体积为， 9分所以剩余的几何体的体积为. 12分20.解：由正弦定理边角互化得，由于，即，得.又，. 6分（2）由（1）知，若，故，则，（舍）又在中，. 12分21.解：（1），. 5分（2）过A作，垂足为O，则，以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则，设， 7分， 9分，当时，取得最小值.12分22.解: （1）（法一）：在中，由正弦定理得 ，故 5分（法二）在中，由余弦定理得故 5分（2）由（1）知，且，为等边三角形，设，则在中，由余弦定理得，四边形的面积当即时，所以当时，四边形的面积取得最大值 12分试卷第8页，总8页