1、 14.1直线与圆的位置关系【考纲要求】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。2、 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。【基础知识】1.设直线圆，圆心到直线的距离2、判断直线与圆的位置关系的方法方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，从而确定直线和圆的位置关系。方程组有两个不同的实数解直线与圆相交；方程组有两个相等的实数解直线与圆相切；方程组没有实数解直线与圆相离。3两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断，
2、两圆相离 外切 相交 内切 内含 4.求直线和圆相交的弦长方法一：解半半弦等腰三角形（注意解直角三角形算出的是弦长的一半）。方法二：利用弦长公式。说明：弦长公式对有斜率的直线才能使用，斜率不存在的直线;公式中表示直线的斜率，是方程组消去化简后中的系数，是的判别式；不一定是一元二次方程；如果是先消去，则弦长公式变为，其中是直线的斜率，是中的系数，是的判别式。【例题精讲】例1 已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为多少？解：设P点坐标为(x，y)，则|PC|.由勾股定理及|AC|1，得|PA|，从而S
3、四边形PACB2SPAC2|PA|AC|PA|.故欲求S四边形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)的距离的平方的最小值，它也就是点C(1,1)到直线3x4y80的距离的平方即这个最小值d229，S四边形PACB最小值2.例2 求过直线2xy40和圆x2y22x4y10的交点，且满足下列条件之一的圆的方程(1)过原点；(2)有最小面积分析：可考虑利用过直线与圆的交点的圆系方程来解决问题解：(1)设所求圆的方程为x2y22x4y1(2xy4)0，即x2y22(1)x(4)y(14)0.此圆过原点，140，.故所求圆的方程为x2y2xy0.(2)解法一
4、：当半径最小时，圆面积也最小，对方程左边配方，得222.当时，此圆面积最小，故满足条件的圆的方程为22.解法二：当圆心在直线2xy40上时，圆面积最小，易求得圆心坐标为，代入直线方程得2(1)40，解得.当时，此圆面积最小故满足条件的圆的方程为x2y2xy0.评析：联立直线与圆的方程，通过解方程组求出交点坐标进而求出圆的方程计算繁琐过直线与圆交点的圆系方程设直线l：AxByC0与圆C：x2y2DxEyF0相交，则方程x2y2DxEyF(AxByC)0表示过直线l与圆C的交点的圆系方程 14.1直线与圆的位置关系强化训练【基础精练】1“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的 ()A充分而不
5、必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件2直线xy10与圆x2y22x20相交于A，B两点，则线段AB的长度为()A1 B2 C. D23直线l：yk(x2)2与圆C：x2y22x2y0相切，则直线l的一个方向向量v ()A(2，2) B(1,1) C(3,2) D(1，)4如果直线axby4与圆x2y24有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是()AP在圆外 BP在圆上 CP在圆内 D 不能确定5直线l与圆x2y22x4ya0(a3)相交于A、B两点，若弦AB的中点为(2,3)，则直线l的方程为 ()Axy50 Bxy10Cxy50 Dxy306已知圆x2y
6、29与圆x2y24x4y10关于直线l对称，则直线l的方程为()A4x4y10 Bxy0Cxy0 Dxy207.若射线y=x+b(x0)与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围为.8过点M(1,2)的直线l将圆(x2)2y29分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l的方程为_9从圆(x1)2(y1)21外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为_10已知：过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21相交于M、N两点(1)求实数k的取值范围；(2)求证：为定值11已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：x2y28x4y160.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线
7、l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？12已知M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切M于A、B两点(1)如果|AB|，求直线MQ的方程；(2)求证直线AB恒过一个定点；(3)求动弦AB的中点P的轨迹方程【拓展提高】1一束光线通过点M(25,18)射到x轴上，被反射到圆C：x2(y7)225上(1)求通过圆心的反射光线方程；(2)求在x轴上入射点A的活动范围2设点C为曲线y(x0)上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.(1)证明：多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若|EM|EN|，求圆C的方
8、程【基础精练参考答案】1.A【解析】：当k1时，圆心到直线的距离d1，此时直线与圆相交，所以充分性成立反之，当直线与圆相交时，d1，|k|，不一定k1，所以必要性不成立2.D解析：本题解题思路是先利用圆的方程确定其圆心与半径，再由平面几何知识确定相应的弦长注意到圆x2y22x20，即(x1)2y23的圆心坐标是(1,0)，半径是，因此|AB|2 2.3.A解析：由圆知圆心(1,1)，r.，k1，可知A符合题意4.A【解析】：根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，2，即a2b24，所以点P(a，b)在圆x2y24的外部5.A【解析】：结合圆的几何性质处理会更简捷由圆的一般方程可得圆心O(1
9、,2)，由圆的性质易知O(1,2)，C(2,3)的连线与弦AB垂直，故有kABkOC1kAB1，故直线AB的方程为：y3x2整理得：xy50.6.D【解析】：由于两圆的圆心分别为(0,0)与(2，2)，则可知两圆圆心所在直线的中垂线方程为y1x1yx2，即直线l的方程为xy20.7. -,1解析：数形结合可以得到8. x2y30解析：设圆心为N，点N的坐标为(2,0)，由圆的性质得直线l与MN垂直时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l的方程为x2y30.9.2【解析】：记圆心为点C，圆心C为(1,1)，则|PC|25，切线长2.10【解】：(1)法一：直线l过点A(0,1)且斜率为k，直线l的方
10、程为ykx1.将其代入圆C：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70，由题意：4(1k)24(1k2)70，得k.法二：同法一得直线方程为ykx1，即kxy10.又圆心到直线距离d，d1，解得k.(2)证明：设过A点的圆的切线为AT，T为切点则|AT|2|AM|AN|，|AT|2(02)2(13)217，7.根据向量的运算：|cos07为定值11.【解】：(1)直线l的方程可化为yx，直线l的斜率k，因为|m|(m21)，所以|k|，当且仅当|m|1时等号成立所以斜率k的取值范围是，(2)不能由(1)知l的方程为yk(x4)，其中|k|.圆C的圆心为C(4，2)，半径r2.圆心
11、C到直线l的距离d.由|k|，得d1，即d.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧 12【解】：(1)由P是AB的中点，|AB|，可得|MP| .由射影定理，得|MB|2|MP|MQ|，得|MQ|3，在RtMOQ中，|OQ|.故Q点的坐标为(，0)或(，0)所以直线MQ的方程是：2xy20或2xy20.(2)证明：设Q(a,0)，由题意知M，A，Q，B四点共圆，直径为MQ，设R(x， y)是该圆上任一点，由0得，x(xa)(y2)y0.即x2y2ax2y0. 式与x2(y2)21联立，消去x2y2项得两圆公共弦AB的方程为ax2
12、y3，无论a取何值，直线AB恒过点(0，)【拓展提高参考答案】1.解：圆心C(0,7)，半径r5，(1)M关于x轴的对称点N(25，18)，由光的性质可知，过圆心的反射光线所在的直线就是过N、C两点的直线，则过N、C的直线方程xy70，即为所求(2)设过N的直线方程为y18k(x25)，即kxy25k180，当它为圆C的切线时，由5k或k.过N与圆C相切的直线为y18(x25)或y18(x25)，令y0，得x或x1，A点活动范围在两切线与x轴的两交点之间，A点在x轴上的活动范围是.2.解：(1)证明：设点C(t0)，因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B.所以，点E是直角坐标系原点，即E(0,0)于是圆C的方程是(xt)22t2.则A(2t,0)，B.由|CE|CA|CB|知，圆心C在RtAEB的斜边AB上，于是多边形EACB为RtAEB，其面积S|EA|EB|2t4.所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4.
