1、第4讲 函数的单调性与最值知识梳理函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间如果对于区间内的任意两个值，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；1 函数的最大（小）值设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函
2、数的单调性与最值重难点：1.对函数单调性的理解（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间上（）仅是为区间上的增函数（减函数）的充分不必要条件。（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即取值；作差；判号；下结论。但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，若，有即可。如
3、果用导数证明在某区间上递增或递减，那么就证明在某区间上或。（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和（6）一些单调性的判断规则：若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。复合函数的单调性规则是“异减同增”2函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号
4、是否取得）。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。热点考点题型探析考点1 函数的单调性题型1：讨论函数的单调性 例1 (2008广东)设,函数.试讨论函数的单调性.解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。解析: 因为,所以. (1)当x0， 当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递增； 当时，令，解得， 且当时，；当时， 故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；(2)当x1时， x-10， 当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递减； 当时，令
5、，解得，且当时，；当时，故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；综上得，当k=0时，F(x)在区间上单调递增，F(x)在区间上单调递减；当k0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间上单调递增；当时，F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理.题型2：研究抽象函数的单调性例2 定义在R上的函数，当x0时，且对任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若
6、f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围.解题思路抽象函数问题要充分利用“恒成立”进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。解析（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0时f（x）10，xR时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）f（2xx2）1，f（0
7、）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函数，3xx20.0x3.【名师指引】解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.新题导练1（珠海北大希望之星实验学校09届高三）函数的单调递减区间是（ ）A; B; C; D 解析 C；由得，又由知函数在上是减函数，根据复合函数的单调性知函数的单调递减区间是2（东皖高级中学09届高三月考）函数的单调增区间为（ ）A；B；C；D解析 D；由得或，又函数在上是减函数，在上是减函数，所以函数的单调增区间为3. (2008全国卷)已知函数，（）讨论函数的单调区间；
8、（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解析 （1）；（2）（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：考点2 函数的值域（最值）的求法题型1：求分式函数的最值例3 （2000年上海）已知函数当时，求函数的最小值； 解题思路当时，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；解析当时，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。【名师指引】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式
9、恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型2：利用函数的最值求参数的取值范围例4 （2000年上海）已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。解题思路 欲求参数的取值范围，应从恒成立的具体情况开始。解析在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3， 即【名师指引】这里利用了分离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。题型3：求三次多项式函数的最值 例5（09年高州中学）已知为实数，函数，若，求函数在上的最大值和最小值。解题思路求三次多项式函数在闭区间上
10、的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。解析， 3分 4分 得：当 5分当 6分因此，在区间内单调递减，而在内单调递减，且又 ，10分【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。新题导练4.（09年广东南海）若函数的最大值与最小值分别为M,m，则M+m = 解析 6；由知在上是增函数又因为函数是奇函数，所以函数是增函数，故M+m=5.（高州中学09届模拟）已知函数。 （）若为奇函数，求的值； （）若在上恒大于0，求的取值范围。解析（）；（）的取值范围为（）的定义域关于原点对称若为奇函数，则 （）在上在上单
11、调递增在上恒大于0只要大于0即可,若在上恒大于0，的取值范围为备选例题：（06年重庆）已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析（）因为是奇函数，所以，即又由知（）解法一由（）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式解法二由（）知又由题设条件得：，即，整理得上式对一切均成立，从而判别式抢分频道基础巩固训练：1（华师附中09高三数学训练题）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是（ ）A.；B.；C.；D.解析 C；因为，由其图象知，若函数在区间上为减函数，则应有2（普宁市城东中学0
12、9）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A；B； C；D解析 A；若函数在上是增函数，则对于恒成立，即对于恒成立，而函数的最大值为，实数的取值范围是3（09汕头金中）下列四个函数中，在区间上为减函数的是（ ）A；B；C；D 解析 C；显然在上是增函数，在上也是增函数而对求导得，对于，所以在区间上为增函数，从而应选择C4（09潮州金山中学）已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（ ）A1；B2；C3；D4解析 D；依题意，应将函数向右平行移动得到的图象，为了使得在上，的图象都在直线的下方，并且让取得最大，则应取，这时取得最大值45（06北京改编）已知 是上的减函数，那么的取
13、值范围是 解析 ；要在上是减函数，则，要在上为减函数，则需并且，所以6（2008浙江理）已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则 解析1；显然函数的最大值只能在或时取到，若在时取到，则，得或，时，；，时，（舍去）；若在时取到，则，得或，时，；，时，（舍去）所以综合提高训练：7.（06陕西改编）已知函数若则与的大小关系为 解析 ；函数的图象开口向上，对称轴为，因，故，从而，又，所以的对应点到对称轴的距离大于的对应点到对称轴的距离，故8已知函数，求的值解析 ；为，令，则，从而所以9（09年汕头金中）对于函数成立的所有常数M中，我们把M的最大值1叫做，的下确界为（ ）A；B2；C；D4解析 A；因为，故的下确界为10（08年湖南）设表示不超过的最大整数（如,）,对于给定的N*,定义,求当时，函数的值域 解析 ；当时，因为函数在上是减函数，得；当时，因为，由单调性得，故当时，函数的值域是