1、北京市西城区2020年6月高三数学试卷 第 1 页(共6页)西 城 区 高 三 模 拟 测 试数 学2020.6本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将条形码贴在答题卡规定处,并将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设全集U=R,集合 A=x|x2,B=x|xbc,则(A)a-bb-c(B)1a 1b 2c(D)以上三个选项都不对8.设向量a,b 满足|a|=|b|=1,ab=12,则|a+xb|(xR)的最小值为
2、(A)52(B)32(C)1(D)29.设 an为等比数列,则“对于任意的 mN*,am+2am”是“an为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件10.佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目.图1的ABCD 由六个正三角形构成.将它沿虚线折起来,可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱AB 与CD 所在直线的位置关系为图1图2(A)平行(B)相交(C)异面且垂直(D)异面且不垂直北京市西城区2020年6月高
3、三数学试卷 第 3 页(共6页)第卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在(1+5x)6 的展开式中,x 的系数为.12.在等差数列 an中,若a1+a2=16,a5=1,则a1=;使得数列 an前n 项的和Sn 取到最大值的n=.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.14.能说明“若 m(n+2)0,则方程x2m+y2n+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组 m,n 的值是.15.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=2f(x),且当x(0,2时,f(x)=2x-3.有以下三个结论:f(-1)=-12;当a(14,
4、12时,方程f(x)=a 在区间-4,4上有三个不同的实根;函数f(x)有无穷多个零点,且存在一个零点bZ.其中,所有正确结论的序号是.北京市西城区2020年6月高三数学试卷 第 4 页(共6页)三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1底面 ABC,ACBC,D 是A1C1 的中点,且 AC=BC=AA1=2.()求证:BC1平面 AB1D;()求直线BC 与平面AB1D 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0 xex-2e.
5、北京市西城区2020年6月高三数学试卷 第 6 页(共6页)20.(本小题满分14分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点C(0,1),离心率为 32.O 为坐标原点.()求椭圆E 的方程;()设A,B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点(不在坐标轴上),直线CD交x 轴于点P,Q 为直线AD 上一点,且OPOQ=4,求证:C,B,Q 三点共线.21.(本小题满分14分)如图,表 1 是 一 个 由 4020 个 非 负 实 数 组 成 的 40 行 20 列 的 数 表,其 中am,n(m=1,2,40;n=1,2,20)表示位于第 m 行第n 列的数.将表1中每
6、一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列(不改变该数所在的列的位置),得到表2(即bi,jbi+1,j,其中i=1,2,39;j=1,2,20).表1表2a1,1a1,2a1,20a2,1a2,2a2,20a40,1a40,2a40,20 b1,1b1,2b1,20b2,1b2,2b2,20b40,1b40,2b40,20()判断是否存在表 1,使得表 2中的bi,j(i=1,2,40;j=1,2,20)等于100-i-j?等于i+2-j呢?(结论不需要证明)()如果b40,20=1,且对于任意的i=1,2,39;j=1,2,20,都有bi,j-bi+1,j1成立,对于任意的 m=1,2,4
7、0;n=1,2,19,都有bm,n-bm,n+12成立,证明:b1,178;()若ai,1+ai,2+ai,2019(i=1,2,40),求最小的正整数k,使得任给ik,都有bi,1+bi,2+bi,2019成立.北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 1页（共 7页）西 城 区 高 三 模 拟 测 试数学参考答案2020.6一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.1D2A3D4C5.B6.B7.C8.B9.C10.B二、填空题：本大题共 5 题，每小题 5 分，共 25 分.1130129，513 4 54+14 答案不唯一.如3m，1n 15 注：第
8、12 题第一问 3 分，第二问 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16（本小题满分 14 分）解：（）如图，连接1A B.设11A BABE，并连接 DE.由三棱柱111ABCA B C，得1A EBE.2 分又因为 D 是11A C 的中点，所以1/BCDE.4 分又因为1BC 平面1AB D，DE 平面1AB D，所以1/BC平面1AB D.6 分（）因为1CC 底面 ABC，ACBC，所以CA，CB，1CC 两两垂直，故分别以 CA，CB，1CC 为 x 轴，
9、y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，7 分则(0,0,0)C，(0,2,0)B，(2,0,0)A，1(0,2,2)B，(1,0,2)D，所以1(2,2,2)AB ，1(1,2,0)B D，(0,2,0)BC，8 分DCA1B1C1ABEyxz北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 2页（共 7页）设平面1AB D 的法向量(,)x y zn，由10AB n，10B D n，得2220,20,xyzxy 令1y ，得(2,1,1)n.11 分设直线 BC 与平面1AB D 所成的角为，则6sin|cos,|6|BCBCBC nnn，所以直线 BC 与平面1AB D 所成角的正弦
10、值为66.14 分17（本小题满分 14 分）解：（）若函数()f x 满足条件，则(0)sin1fA .这与0,02A矛盾，故()f x 不能满足条件，所以函数()f x 只能满足条件，.2 分由条件，得 2|，又因为0，所以2.4 分由条件，得2A.5 分由条件，得()2sin()063f，又因为02，所以3.所以()2sin(2)3f xx.8 分（）由2+23222xkk，kZ，10 分得5+1212xkk，12 分所以函数()f x 的单调递增区间为5+1212kk,，kZ.14 分（注：单调区间写成开区间亦可.）北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 3页（共 7页）
11、18（本小题满分 14 分）解：（）根据数据，可得软件 A，B，C，D，E，F 的使用率 A910.996t，B840.991t，C690.985t，D540.974t，E640.969t，F630.965t.所以软件 A，B，E，F 为“有效下载软件”.2 分记事件 M 为“在 6 款软件中任取 1 款，该款软件是有效下载软件”，3 分则事件 M 的概率42()63P M.4 分（）随机变量 X 的可能取值为 2，3，4.5 分则224246C C2(2)C5P X，314246C C8(3)C15P X，4446C1(4)C15P X.8 分所以随机变量 X 的分布列为：X234P2581
12、5115 9 分所以随机变量 X 的数学期望2818234515153EX .10 分（）不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”.12 分理由如下：若根据这 6 款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估计总体.用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取.但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前 6 名”的软件，不是从所有软件中随机抽取 6 款作为样本.故不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”.14 分19（本小题满分 15 分）解：（）由()lnf xaxx，得()lnfxaxa，2 分北京市西城区
13、2020 年 6 月高三数学参考答案第 4页（共 7页）则(1)0f，(1)fa.所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线为(1)ya x.4 分将点(3,2)代入切线方程，得1a .5 分（）由题意，得()lnf xxx，()ln1fxx.令()0fx，得1ex.7 分随着 x 变化，()fx与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在 1(,+)e 上单调递增.9 分所以函数()f x 存在极小值，且极小值为11()eef；函数()f x 不存在极大值.10 分（）“2()eexxf x”等价于“2ln0eexxxx”.11 分由（），得1(
14、)lnef xxx-（当且仅当1ex 时等号成立）.所以21lneeeexxxxxx.故只要证明 10eexx 即可（需验证等号不同时成立）.12 分设1()eexxg x，(0,+)x ，则1()exxg x.13 分因为当(0,1)x时，1()0exxg x；当(1,)x 时，1()0exxg x，所以函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增.所以()(1)0g xg（当且仅当1x 时等号成立）.因为两个不等式中的等号不同时成立，所以当(0,)x 时，2()eexxf x.15 分x1(0,)e1e1(,+)e()fx0()f x极小值北京市西城区 2020 年 6
15、月高三数学参考答案第 5页（共 7页）20（本小题满分 14 分）解：（）由题意，得1b ，32ca.2 分又因为222abc，3 分所以2a，3c.故椭圆 E 的方程为2214xy.5 分（）(2,0)A，(2,0)B.设0000(,)(0)D xyx y，则220014xy.6 分所以直线CD 的方程为0011yyxx，7 分令0y，得点 P 的坐标为00(,0)1xy.8 分设(,)QQQ xy，由4OP OQ，得004(1)Qyxx（显然2Qx）.9 分直线 AD 的方程为00(2)2yyxx，10 分将Qx 代入，得00000(442)(2)Qyyxyxx，即00000004(1)(
16、442)(,)(2)yyyxQxxx.11 分故直线 BQ 的斜率存在，且000000(442)2(2)(442)QBQQyyyxkxxyx 12 分200002000022424yyx yxx yy20000200002214242yyx yyx yy.13 分又因为直线 BC 的斜率12BCk，所以BCBQkk，即,C B Q 三点共线.14 分北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 6页（共 7页）21（本小题满分 14 分）解：（）存在表 1，使得,100i jbij；不存在表 1，使得,i jb等于2ji.3 分（）因为对于任意的1,2,391,2,20ij；，都有,1
17、,1i jijbb ，所以1,202,201bb，2,203,201bb，39,2040,201bb，所以1,202,202,203,2039,2040,20(39bbbbbb)+()+()，即1,2040,203940bb.6 分又因为对于1,2,401,2,19mn；，都有,12m nm nbn，所以1,11,22bb，1,21,32bb，1,191,202bb，所以1,11,21,21,31,191,20(38bbbbbb)+()+()，所以1,11,2038403878bb.即1,178b.8 分（）当表 1 如下图时：其中，每行恰好有 1 个 0 和 19 个 1；每列恰好有 2 个
18、 0 和 38 个 1；因此每行的和均为 19.符合题意.重新排序后，对应表 2 中，前 38 行中每行各数均为 1，每行的和均为 20；后 2 行各数均为 0，因此39k.10 分以下先证：对于任意满足条件的表 1，在表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一01111011111011110111110111101111101111011111011110北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案第 7页（共 7页）行（设为第 r 行）的全部实数（即包含,1,2,20,rrraaa）.假设表 2 的前 39 行中，不能包含原表 1 中任一行的全部实数.则表 2 的前 39 行中至多含有表 1 中的 40 19760个数，这与表 2 中前 39 行中共有 3920780个数矛盾.所以表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一行（设为第 r 行）的全部实数.12 分其次，在表 2 中，根据重排规则得：当39i时，,39,i jjr jbba1,2,20j（，），所以,1,2,20,1,2,2019iiirrrabbbaa.所以39k.综上，39k.14 分
