1、基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.第5讲 空间向量及其运算基础诊断考点突破课堂总结1空间向量的有关概念知 识 梳 理名称 概念 表示 零向量 模为_的向量 0 单位向量 长度(模)为_的向量 相等向量 方向_且模相等的向量 ab 相反向量 方向_且模_的向量 a的相反向量为a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相_ ab 共面向量 平行于同一个_的向量 01相同相反相等平行或重合
2、平面基础诊断考点突破课堂总结2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得a_(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使p_(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，把a，b，c叫做空间的一个基底bxaybxaybzc基础诊断考点突破课堂总结3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则_叫做向量a，b的数量积，记作_，即ab_
3、已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作_，其范围是_，若a，b2，则称 a 与b_，记作 ab.a，b0a，b互相垂直|a|b|cosa，bab|a|b|cosa，b基础诊断考点突破课堂总结(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b_；交换律：ab_；分配律：a(bc)_(ab)baabac基础诊断考点突破课堂总结4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示 坐标表示 数量积 ab _ 共线 ab(b0)_ 垂直 ab0(a0，b0)_ 模|a|_ 夹角 a，b(a0，b0)c
4、osa，b a21a22a23a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23a1b1a2b2a3b3 a1b1，a2b2，a3b3 a1b1a2b2a3b30 基础诊断考点突破课堂总结1判断正误(请在括号中打“”或“”)精彩PPT展示(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()诊 断 自 测(2)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有AB BC CD DA 0.()(3)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若OP xOA yOB zOC(其中 x，y，zR)，则 P，A，B，C 四点共面()基础诊断考点突破课堂总结
5、2如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点若AB a，AD b，AA1c，则下列向量中与BM 相等的向量是()A12a12bcB.12a12bcC12a12bcD.12a12bc基础诊断考点突破课堂总结答案 A解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM BB1B1M AA112(AD AB)c12(ba)12a12bc.基础诊断考点突破课堂总结3有下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4若MP xMA yMB，则 P，M，A，B 共面；若 P，M，A，B 共面，
6、则MP xMA yMB.基础诊断考点突破课堂总结答案 B解析 正确，中若 a，b 共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立正确中若 M，A，B共线，点 P 不在此直线上，则MP xMA yMB 不正确基础诊断考点突破课堂总结答案 C4(2015珠海模拟)已知 A(1，1，3)，B(0，2，0)，C(1，0，1)，若点 D 在 z 轴上，且AD BC，则|AD|等于()A1 B.2C.3D2解析 点 D 在 z 轴上，可设 D 点坐标为(0，0，m)，则AD(1，1，m3)，BC(1，2，1)，由AD BC，得AD BC m40，m4，AD(1，1，1)，|AD|111 3.基础诊断考
7、点突破课堂总结5(人教A选修21P98A3改编)正四面体ABCD棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_解析|EF|2EF 2(EC CD DF)2 EC 2CD 2DF 22(EC CD EC DF CD DF)1222122(12cos 120021cos 120)2，|EF|2，EF 的长为 2.答案 2基础诊断考点突破课堂总结考点一 空间向量的线性运算【例 1】在三棱锥 OABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC 表示OG，MG.解 OG OA AGOA 23ANOA 23(ON OA)基础诊断考点突破课堂总结OA 23
8、12（OB OC）OA13OA 13OB 13OC，MG OG OM OG 12OA 13OA 13OB 13OC 12OA16OA 13OB 13OC.基础诊断考点突破课堂总结(2)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求如本例用OA，OB，OC 表示OG，MG 等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】如图所示，在平
9、行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设AA1a，AB b，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N.解(1)APAA1A1D1 D1PAA1 AD 12AB ac12b.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一 A1N A1A AB BNAA1 AB 12AD ab12c.法二 A1N AN AA1AB 12BC AA1AB 12AD AA1 ab12c.基础诊断考点突破课堂总结考点二 共线定理、共面定理的应用【例2】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E
10、，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)连接 BG，则EG EB BG EB 12(BC BD)EB BF EH EF EH，由共面向量定理知：E，F，G，H 四点共面基础诊断考点突破课堂总结又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(2)因为EH AH AE 12AD 12AB 12(AD AB)12BD，因为 E，H，B，D四点不共线，所以 EHBD.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明 A，B，C 三点共线，即证明AB，AC 共线，亦即证明AB AC(0)(2)证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如
11、要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明PAxPByPC，或对空间任一点 O，有OA OP xPB yPC，或OP xOA yOB zOC(xyz1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】如图空间两个平行四边形共边AD，点 M，N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM13BD，AN13AE.求证：MN平面 CDE.证明 因为 M 在 BD 上，且 BM13BD，所以MB 13DB 13DA 13AB.同理AN 13AD 13DE.所 以 MN MB BA AN 13DA 13AB BA 13AD 13DE 23BA 13DE 23
12、CD 13DE.基础诊断考点突破课堂总结又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN，CD，DE 共面由于 MN平面 CDE 内，所以 MN平面 CDE.基础诊断考点突破课堂总结考点三 空间向量数量积的应用【例3】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值(1)证明 设AB p，AC q，AD r.由题意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三向量两两夹角均为 60.MN AN AM 12(AC AD)12AB 12(qrp)，基础诊断考点突破课
13、堂总结MN AB 12(qrp)p12(qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.MN AB.即 MNAB.同理可证 MNCD.(2)解 由(1)可知MN 12(qrp)，|MN|214(qrp)214q2r2p22(qrpqrp)基础诊断考点突破课堂总结14a2a2a22a22 a22 a22142a2a22.|MN|22 a.MN 的长为 22 a.(3)解 设向量AN 与MC 的夹角为.AN 12(AC AD)12(qr)，MC AC AM q12p，AN MC 12(qr)(q12p)基础诊断考点突破课堂总结12(q212qprq12rp)12(a212a2cos
14、60a2cos 6012a2cos 60)12(a2a24 a22 a24)a22.又|AN|MC|32 a，AN MC|AN|MC|cos 32 a 32 acos a22.cos 23.基础诊断考点突破课堂总结向量AN 与MC 的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与 CM 所成角的余弦值为23.规律方法 数量积的应用：(1)求夹角，设向量 a，b 所成的角为，则 cos ab|a|b|，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用 abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积
15、的计算问题基础诊断考点突破课堂总结【训练3】如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1 的长(2)求BD1 与AC 夹角的余弦值基础诊断考点突破课堂总结解 记AB a，AD b，AA1c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca12.(1)|AC1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212 6，|AC1|6.基础诊断考点突破课堂总结(2)BD1 bca，AC ab，|BD1|2，|AC|3，BD1 AC(bca)(ab)b2a2acbc1.cosBD1，AC BD1 AC|BD1|AC
16、|66.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题3利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题其中合理选取基底是优化运算的关键基础诊断考点突破课堂总结易错防范2求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.1在利用MN xAB yAC 证明 MN面 ABC 时，必须说明 M 点或 N 点不在面 ABC 内(因为式只表示MN 与AB，AC 共面)