1、2013年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）（2013江门一模）已知（x+y3）+（y4）i=0，其中x，yR，i是虚数单位，则x=（）A1B1C7D7考点：复数相等的充要条件 专题：计算题分析：给出的是复数的代数形式，由复数为0，则其实部和虚部都等于0，列方程组可求x的值解答：解：因为x，yR由（x+y3）+（y4）i=0，得：，解得所以，x=1故选B点评：本题考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题2（4分）（2013江
2、门一模）函数f（x）=lg（1x）的定义域是（）A（，0）B（0，+）C（，1）D（1，+）考点：对数函数的定义域 专题：函数的性质及应用分析：通过解不等式1x0，求得函数的定义域解答：解：1x0x1函数的定义域是（，1）故选C点评：本题考查对数函数的定义域3（4分）（2013江门一模）如图是根据某城市部分居民2012年月平均用水量（单位：吨）绘制的样本频率分布直方图，样本数据的分组为1，2），2，3），3，4），6，7已知样本中月均用水量低于4吨的户数为102，则样本中月均用水量不低于4吨的户数为（）A168B178C188D198考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：根据已知中的频率
3、分布直方图先求出月均用水量低于4吨的频率，结合样本容量=，可求出样本容量，结合所有各组累积频率为1，可求出月均用水量不低于4吨的频率，进而得到月均用水量不低于4吨的户数解答：解：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量低于4吨的频率为0.10+0.12+0.12=0.34又月均用水量低于4吨的户数为102，故样本容量=300则月均用水量不低于4吨的频率为10.34=0.66样本中月均用水量不低于4吨的户数为3000.66=198户故选D点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握公式：样本容量=，是解答的关键4（4分）（2013江门一模）以（1，0）为圆心，且与直线xy+3=0相切的圆的方程
4、是（）A（x1）2+y2=8B（x+1）2+y2=8C（x1）2+y2=16D（x+1）2+y2=16考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：以（1，0）为圆心，可排除一部分，利用点到直线间的距离公式可求圆的半径，从而得到答案解答：解：所求圆的圆心坐标为M（1，0），可排除B，D；所求圆与直线xy+3=0相切，圆心M（1，0）到直线xy+3=0的距离即为该圆的半径r，即r=24，可排除C；所求圆的方程为：（x1）2+y2=8故选A点评：本题考查直线与圆的位置关系，求得圆的半径是关键，属于基础题5（4分）（2013江门一模）设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面给出下列四个命
5、题：若m，则m若m、n，m，n，则若m，m，n，则n若，m，则m其中，正确命题的个数是（）A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质 专题：空间位置关系与距离分析：根据面面平行的性质判断的正确性；根据面面平行判定定理的条件，判断是否正确；根据面面平行的性质与线面垂直的判定，判断是否正确；结合图形判断是否正确解答：解：根据面面平行的性质，aa，正确；直线m、n不一定相交，、不一定平行，故错误；m，m，又n，n，故正确；，、位置关系不确定，不正确故选B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查线面平行、垂直的判定与性质6（4分）（2013江门一模）已知ABC
6、D是边长为2的正方形，E、F分别是BC、CD的中点，则=（）A6B5C4D3考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据直角三角形中的边角关系求得 tanEAN 和tanFAD 的值，由两角和的正切公式求得tan（EAB+FAD） 的值，进而利用诱导公式求得 tanEAF，进而求得cosEAF的值，由此求得=AEAFcosEAF 的值解答：解：由题意可得 AE=AF=，tanEAN=tanFAD=，tan（EAB+FAD）=，tanEAF=tan90（EAB+FAD）=cot（EAB+FAD）=故cosEAF=，则=AEAFcosEAF=4，故选C点评：本题主要考查两个向量的数量
7、积的定义，直角三角形中的边角关系，两角和的正切公式，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题7（4分）（2013江门一模）执行程序框图，如果输入n=5，那么输出的p=（）A24B120C720D1440考点：循环结构 专题：操作型分析：通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果解答：解：如果输入的n是5，由循环变量k初值为1，那么：经过第一次循环得到p=1，满足kn，继续循环，k=2，经过第二次循环得到p=2，满足kn，继续循环，k=3经过第三次循环得到p=6，满足kn，继续循环，k=4 经过第四次循环得到p=24，满足kn，继续循环，k=5经过第五循环得到p=12
8、0，不满足kn，退出循环此时输出p值为120故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律8（4分）（2013江门一模）已知函数f（x）=ax2bx1，其中a（0，2，b（0，2，在其取值范围内任取实数a、b，则函数f（x）在区间1，+）上为增函数的概率为（）ABCD考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由已知中a（0，2，b（0，2，可求出S，进而根据函数f（x）=ax2bx1的图象是开口朝上，且以x=为对称轴的抛物线，可得函数f（x）在区间1，+）上为增函数时，a（0，2，b（0，2，b2a，进而求出SA，代入几何概型概率公式，可得答案解答：解：=
9、（a，b）|a（0，2，b（0，2，S=22=4则函数f（x）=ax2bx1的图象是开口朝上，且以x=为对称轴的抛物线，记“函数f（x）在区间1，+）上为增函数”为事件A则A=（a，b）|a（0，2，b（0，2，1=（a，b）|a（0，2，b（0，2，b2a，如图所示：则SA=（1+2）2=3P（A）=故函数f（x）在区间1，+）上为增函数的概率为故选D点评：本题考查的知识点是几何概型，几何概型分长度类，面积类，角度类，体积类，解答的关键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量9（4分）（2013江门一模）等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与抛物线的准线交于
10、P、Q两点，若|PQ|=4，则的实轴长为（）AB3C2D考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|PQ|=4，即可求得结论解答：解：设等轴双曲线的方程为x2y2=（1）抛物线x2=4y，2p=4，p=2，=1抛物线的准线方程为y=1设等轴双曲线与抛物线的准线y=1的两个交点A（x，1），B（x，1）（x0），则|PQ|=|x（x）|=2x=4，x=2将x=2，y=1代入（1），得22（1）2=，=3等轴双曲线的方程为x2y2=3，实轴长为2故选A点评：本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础
11、题10（4分）（2013江门一模）设命题p：函数的图象向左平移单位得到的曲线关于y轴对称；命题q：函数y=|3x1|在1，+）上是增函数则下列判断错误的是（）Ap为假Bq为真Cpq为假Dpq为真考点：命题的真假判断与应用；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：阅读型分析：根据函数y=sin（2x+）的图象变换规律判断命题P是否正确；将含有绝对值符合的函数转化为分段函数求单调区间，来判断命题q是否正确；再利用复合命题真值表分析求解解答：解：函数的图象向左平移单位得到的函数是y=sin（2x+），函数不是偶函数，命题P错误；函数y=|3x1|=，函数在（0，+）上是增函数，在（，0）上是减函数
12、，故命题q错误根据复合命题真值表，A正确；B正确；C正确；D错误故选D点评：本题借助考查命题的真假判断，考查函数y=sin（2x+）的图象变换规律及指数函数的单调性二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分25分.11（5分）（2013江门一模）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元考点：回归分析的初步应用 专题：图表型分析：首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归
13、方程，把自变量为6代入，预报出结果解答：解：=3.5，=42，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，42=9.43.5+a，=9.1，线性回归方程是y=9.4x+9.1，广告费用为6万元时销售额为9.46+9.1=65.5，故答案为：65.5万元点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点12（5分）（2013江门一模）已知ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2c2=6且C=60，则ABC的面积S=考点：余弦定理的应用 专题：解三角形分析：利用条件（a+b）2c2=6且C=60，结合余弦定理可得 c2
14、=a2+b2ab，可得 ab=2，由此求得ABC的面积S=absinC 的值解答：解：已知ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2c2=6且C=60，由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab，化简可得 ab=2则ABC的面积S=absinC=sin60=，故答案为 点评：本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，求得AB=2是解题的关键，属于中档题13（5分）（2013江门一模）观察下列各式：521=24，721=48，1121=120，1321=168，所得结果都是24的倍数依此类推：nN*，（6n1）21、（6n+1）21或其他等价代数式是24的倍数（本
15、题填写一个适当的关于n的代数式即可）考点：归纳推理 专题：规律型分析：仔细观察每一个等式，用含有n的式子表示出等号左边的数，即可表示出24的倍数解答：解：521=24，721=48，1121=120，1321=168，即：（611）21=24，（61+1）21=48，（621）21=120，（62+1）21=168，（6n1）21、（6n+1）21是24的倍数，即故答案为：（6n1）21、（6n+1）21或其他等价代数式点评：本题考查了数字的变化，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系14（5分）（2013江门一模）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程
16、是（为参数，02），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是=2cos考点：简单曲线的极坐标方程 专题：计算题分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=cos，y=sin代换求得极坐标方程解答：解：由（为参数，02），得，两式平方后相加得（x1）2+y2=1，（4分）曲线C是以（1，0）为圆心，半径等于的圆令x=cos，y=sin，代入并整理得=2cos即曲线C的极坐标方程是=2cos （10分）故答案为：=2cos点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=cos，y=sin，=15（5分）（2013江门一模）
17、（几何证明选讲选做题）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，CD为圆O的切线，ADCD若AB=5，AC=4，则AD=考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；直线与圆分析：利用弦切角定理及圆的性质、相似三角形的判定与性质即可得出解答：解：连接BC，CD为圆O的切线，ACD=CBAAB是圆O的直径，ACB=90ADCD，ADC=ACB=90，ADCACB，AB=5，AC=4，=故答案为点评：熟练掌握弦切角定理及圆的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，满分85分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（14分）（2013江门一模）已知函数f（x）=2sinxcos
18、x+2cos2x1，xR（1）求f（x）的最大值；（2）若点P（3，4）在角的终边上，求的值考点：二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：（1）先利用辅助角公式对已知函数化简，结合正弦函数的性质即可求解函数的最大值（2）结合（1）及诱导公式对已知函数化简，结合三角函数的定义即可求解解答：解：（1）f（x）=sin2x+cos2x（2分）=（5分）所以f（x）的最大值为（6分）（2）由（1）得（7分）=（8分）P（3，4）在角的终边上，（10分）所以（11分）=（12分）点评：本题主要考查了辅助角公式，诱导公式及三角函数的定义的简单应用，属于基础试题
19、17（16分）（2013江门一模）甲、乙两药厂生产同一型号药品，在某次质量检测中，两厂各有5份样品送检，检测的平均得分相等（检测满分为100分，得分高低反映该样品综合质量的高低）成绩统计用茎叶图表示如图：（1）求a；（2）某医院计划采购一批该型号药品，从质量的稳定性角度考虑，你认为采购哪个药厂的产品比较合适？（3）检测单位从甲厂送检的样品中任取两份作进一步分析，在抽取的两份样品中，求至少有一份得分在（90，100之间的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图 专题：概率与统计分析：（1）由两厂送检的5份样品，检测的平均得分相等，可构造关于a的方程，解方程可得a值；（2）由（1）可
20、得两厂送检的5份样品，检测的平均得分均为90，代入方差计算公式，求出方差后，比较方差小的数据更稳定，采购其产品比较合适（3）用列举法计算“从甲厂送检的样品中任取两份”的基本事件总数及满足条件“至少有一份得分在（90，100之间”的基本事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案解答：解：（1）依题意，=90（2分）解得a=3（3分）（2）=90（5分），（7分），从质量的稳定性角度考虑，采购甲药厂的产品比较合适（8分）（3）从甲厂的样品中任取两份的所有结果有：（88，89），（88，90），（88，91），（88，92），（89，90），（89，91），（89，92），（90，91），（90，92
21、），（91，92）（10分），共10种（11分），其中至少有一份得分在（90，100之间的所有结果有：（88，91），（88，92），（89，91），（89，92），（90，91），（90，92），（91，92）（12分），共7种（13分），所以在抽取的样品中，至少有一份分数在（90，100之间的概率（14分）点评：本题考查的知识点是列举法计算基本事件个数及事件发生的概率，解答的关键是列举出基本事件总数及满足条件的基本事件的个数18（15分）（2013江门一模）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，AED在平面ABC的投影恰好是ABC已知CD=BE，AB=4，（1）证明：平面AD
22、E平面ACD；（2）当三棱锥CADE体积最大时，求三棱锥CADE的高考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（1）要证两个面相互垂直，可证平面ADE经过平面ACD的一条垂线DE，根据，AED在平面ABC的投影恰好是ABC，说明CD和BE都垂直于底面ABC，又CD=BE，可证DEBC，利用线面垂直的判定定理可证BC面ACD，从而使问题得证；（2）把三棱锥CADE体积转化为三棱锥EACD的体积，写出体积公式后利用基本不等式求体积最大值，并且得到使体积最大时的多面体ABEDC的确切形状，然后利用等积法可求三棱锥CADE的高解答：（1）证明：因为AB是直径，所
23、以BCAC，因为ABC是AED的投影，所以CD平面ABC，则CDBC，因为CDAC=C，所以BC平面ACD，因为CD平面ABC，BE平面ABC，所以CDBE，又因为CD=BE，所以BCDE是平行四边形，BCDE，则DE平面ACD，因为DE平面ADE，所以平面ADE平面ACD；（2）在直角三角形AEB中，EB=ABtanEAB=4=1，由（1）知=，等号当且仅当时成立，此时，设三棱锥CADE的高为h，则，所以，当三棱锥CADE体积最大时，三棱锥CADE的高为点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，训练了利用基本不等式求最值，求棱锥体积最大时的棱锥
24、的高时，运用了等积法，体现了数学转化思想，属于中档题19（12分）（2013江门一模）如图，椭圆：（ab0）的离心率，椭圆的顶点A、B、C、D围成的菱形ABCD的面积S=4（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于M、N两点，在椭圆是否存在点P、Q，使四边形PMQN为菱形？若存在，求PQ的长；若不存在，简要说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）利用椭圆的离心率及a，b，c的关系、菱形的面积公式即可得出；（2）利用椭圆的对称性、线段的垂直平分线的性质、菱形的定义、两点间的距离公式解答：解：（1）依题意，从而，a=2b又=4，即ab=
25、2，联立，解得a=2，b=1，椭圆的标准方程为（2）存在由直线可得，根据椭圆的对称性，当直线PQ是线段MN的垂直平分线时，PMQN为菱形，PQ所在直线的方程为联立解得，|PQ|=点评：熟练掌握椭圆的对称性、离心率及a，b，c的关系、线段的垂直平分线的性质、菱形的定义菱形的面积公式、两点间的距离公式是解题的关键20（14分）（2013江门一模）广东某企业转型升级生产某款新产品，每天生产的固定成本为10000元，每生产1吨，成本增加240元已知该产品日产量不超过600吨，销售量f（x）（单位：吨）与产量x（单位：吨）之间的关系为，每吨产品售价为400元（1）写出该企业日销售利润g（x）（单位：元）
26、与产量x之间的关系式；（2）求该企业日销售利润的最大值考点：函数模型的选择与应用 专题：函数的性质及应用分析：（1）由销售量f（x）（单位：吨）与产量x（单位：吨）之间的关系为，每吨产品售价为400元，可计算销售收入，再由每天生产的固定成本为10000元，每生产1吨，成本增加240元，计算出成本，根据日销售利润=销售收入成本得到函数的解析式（2）根据（1）中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，分析求出两段上函数的最大值，比较后，可得答案解答：解：（1）当0x480时，（1分）=（2分）当480x600时，（4分），所以（6分）（2）当0x480时，（8分），因为，3200，480，所以当x
27、=320时，g（x）取得最大值15600元（10分）；当480x600时，g（x）=40x10000，因为400，所以当x=600时，g（x）取得最大值4060010000=14000元（12分）因为1560014000，所以该企业日销售利润最大为15600元（13分）点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中根据已知，结合日销售利润=销售收入成本得到函数的解析式是解答的关键21（14分）（2013江门一模）（1）证明：对x0，lnxx1；（2）数列an，若存在常数M0，nN*，都有anM，则称数列an有上界已知，试判断数列bn是否有上界考点：全称命题 专题：规律型分析：（1）先设g（
28、x）=lnx（x1）=lnxx+1，利用导数研究它的单调性，得出g（x）在x=1处取最大值，即可证得结论；（2）假设，从而得出，由（1）得，即，再利用M0，取n为任意一个不小于eM的自然数，则，从而得出数列bn无上界解答：证：（1）设g（x）=lnx（x1）=lnxx+1，x0.（1分），解g（x）=0得x=1（2分）当0x1时，g（x）单调递增（3分）；当x1时，g（x）单调递减（4分），所以g（x）在x=1处取最大值，即x0，g（x）g（1）=ln11+1=0，lnxx1（6分）（2）数列bn无上界（7分）nN*，设（8分），由（1）得，（10分），所以=ln（n+1）（13分），M0，取n为任意一个不小于eM的自然数，则，数列bn无上界（14分）点评：本题主要考查全称命题、数列的通项公式在求解中的应用，及利用导数研究函数的单调性，属于中档题15
