1、数学第 1 页 共 12 页 试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列图形所表示的几何体中,不是棱锥的为()A.B.C.D.2.已知关于 x 的不等式2680kxkxk+对任意 xR 恒成立，则 k 的取值范围是()A.01kB.01kC.0k 或1k D.0k 或1k 3.设,m n 为正数，且2mn+=，则1312nmn+的最小值为（）A 32B 53C 74D 954.已知等比数列 na中，31320aa=，64a=，则10a 的值是()A.16B.14C.6D.55.数列 na的前n 项和为nS,若1(
2、1)(2)nann=+,则8S=()A.25B.130C.730D.56第 2 页 共 12 页6.已知向量2 3(1,2),(,)3 5ab=,若向量2(R)mab m+与向量 32ab共线,则 m 的值为()A.-3B.3C.13D.137.已知向量(1,),(3,2)am b=,且()abb+,则 m=()A.-8B.-6C.6D.88.在四边形 ABCD 中,2,4,53ABab BCab CDab=+=,则四边形 ABCD 的形状是()A.长方形B.平行四边形C.菱形D.梯形9.如图所示的直观图的平面图形 ABCD 是（）A、任意梯形B、直角梯形C、任意四边形D、平行四边形10.在
3、ABC中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若60,2,3Cbc=,则角 A 为（）A 45B 60C 75D13511.设,a b 是实数,且3ab+=,则2?2ab+的最小值是()A.6 B.4 2 C.2 6 D.8 第 3 页 共 12 页12.数列()()1111,25 8 8 1131 32nn+的前n 项和为()A.32nn+B.64nn+C.364nn+D.12nn+二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.设0,0 xy且21xy+=,求 11xy+的最小值_。14.已知 na，nb都是等差数列，若1109ab+=，3815ab+=，则56a
4、b+=.15.已知向量,a b 的夹角为60,且1ab=,则 ab+=_.16.如图，在正三棱柱111ABCA B C中，12,3ABAA=，则四棱锥111AB C CB的体积是_ 三、解答题（共 70 分，解答时写出文字说明、证明过程或验算步骤。）17.（10 分）ABC的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.1.若 a、b、c 成等差数列,证明()sinsin2sinACAC+=+;2.若 a、b、c 成等比数列,求 cos B 的最小值.第 4 页 共 12 页18.（12 分）如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架(阴影部分)的材料为铝合金,宽均为 6cm,上栏与下栏的框内
5、高度(不含铝合金部分)的比为1:2,此铝合金窗占用的墙面面积为228800cm.设该铝合金窗的宽和高分别为 cma和 cmb,铝合金窗的透光部分的面积为2cmS.(1).试用,a b 表示 S.(2).若要使 S 最大,则铝合金窗的宽和高分别是多少?第 5 页 共 12 页19.（12 分）在等差数列 na中,nS 为其前n 项和()*,nN且243,16.aS=1.求数列 na的通项公式;2.设11nnnba a+=,求数列 nb的前n 项和nT.20.（12 分）已知2,3ab=,a 与b 的夹角为120.(1)求(2)(3)abab+与 ab+的值；(2)x 为何值时，xab与3ab+垂
6、直？第 6 页 共 12 页21.（12 分）求下列函数的最值:1.已知函数(),1,0yxxx=+,求此函数的最大值2.已知0 x,求()123fxxx=+的最小值.22.（12 分）在ABC中，内角,A B C 所对的边分别为,a b c，且222bacac=+.1.求角 B 的大小；2.求sinsinAC+的取值范围.第 7 页 共 12 页参考答案1.答案：A 解析：A 是两个四棱锥的组合.2.答案：A解析：3.答案：D解析：当2mn+=时，13113511112121212nmnmnmnmnmn+=+=+=+（）（）（）（）,因为212251224mnmn+=（）（），当且仅当12m
7、n+=+，即3122mn=，时取等号，则139125nmn+4.答案：D解析：5.答案：A 解析：6.答案：A解析：因为向量2(R)mab m+与向量32ab共线,2(32)(R)mabab+=322m=,13m=.7.答案：D解析：向量(1,),(3,2)am b=,(4,2)abm+=.又()abb+.122(2)0m=,解得8m=.8.答案：D第 8 页 共 12 页解析：由题意,因为2,4,53ABab BCab CDab=+=,24532ADABBCCDabababBC=+=+=,/ADBC,且 ADBC,四边形ABCD 为梯形,故选 D.9.答案：B 解析：10.答案：C解析：在
8、ABC中,2,3bc=,且60C=由正弦定理 sinsinbcBC=可得:32sin22sin23bCBc=cbCBB 为锐角45B=()18075ABC=+=11.答案：B 解析：,a b 是实数,20,20ab,于是3222 222 22 24 2ababa b+=,当且仅当32ab=时取得最小值4 2.12.答案：B 第 9 页 共 12 页解析：13.答案：32 2+解析：因为0,0 xy,所以0,0 xyyx。而21xy+=,所以有 111122()(2)33232 2yxy xxyxyxyxyxy+=+=+=+当且仅当 xy=时取等号.14.答案：21解析：因为 na，nb都是等差
9、数列，所以3152aaa=+，81062bbb=+，所以()()()38110562 ababab+=+，即()562 159ab=+，解得5621ab+=.15.答案：3解析：222222cos602 13abaa bba b+=+=+=+=3ab+=16.答案：2 3 第 10 页 共 12 页解析：1 1 113224 32 334B A B CVV=,故答案为2 3 17.答案：1.证明:a、b、c 成等差数列,2acb+=.由正弦定理得sinsin2sinACB+=.()()sinsin sinBACAC=+=+,()sinsin2sinACAC+=+.2.a、b、c 成等比数列,2
10、bac=.由余弦定理得2222221cos2222acbacacacacBacacac+=.当且仅当 ac=时等号成立.cos B 的最小值为 12.解析：18.答案：(1).铝合金窗的宽为 cma,高为cmb.0,0,28800.abab=设上栏框内的高度为 cmh,下栏框内的高度为 2 cmh,则318hb+=183bh=透 光 部 分 的 面 积2(18)18(18)(12)(16)(18)33bbSaaab=+=即2(98)28829088 1816Sababab=+=.(2).982 982880,abab+=29088 1816290882(98)290882 288023328S
11、abab=+=,当且仅当 98ab=时,即160,180ab=时,S 取得最大值.当铝合金窗的宽为160cm,高为时180cm 透光部分的面积 S 最大。第 11 页 共 12 页解析：19.答案：1.na为等差数列,nS 为其前n 项和,243,16aS=22530tta+=2.111111()(21)(21)2 2121nnnba annnn+=+11111111(1)()().()233557212121nnTnnn=+=+解析：20.答案：(1)cos,23 cos1203a ba ba b=.22(2)(3)25324 153 934ababaa bb+=+=.22224697aba
12、baa bb+=+=+=+=.(2)因为()(3)xabab+，所以22()(3)(31)3xababxaxa bb+=+493270 xx=+=，即245x=.所以当245x=时，xab与3ab+垂直.解析：21.答案：1.因为0 x,所以 10 x.则()10,0 xx,()()()()12112xxxxxx+=,当且仅当()1xx=即1x=时,取“=”.因此当1x=时,函数有最大值 2.2.因为0 x,所以()321212 312xxxf xx=+=,当且仅当123xx=,即2x=时取等号.第 12 页 共 12 页所以()f x 的最小值为 12解析：22.答案：1.222bacac=+，222acbac+=，2221cos22acbBac+=，0B，3B=.2.sinsinsinsin()sinsin()3ACAABAA+=+=+33sincos3sin()226AAA=+=+2(0,)3A,5(,)666A+,1sin()(,162A+,33sin()(,362A+.sinsinAC+的取值范围是3(,32.解析：